원뿔의 부피 직관

여기에 다른 두 개의 삼차원 도형이 있습니다 각뿔이 왼쪽에 있으며 원뿔이 오른쪽에 있습니다 이 두 도형에 주어진 것이 몇 가지 있습니다 이 둘의 높이는 같습니다 따라서 여기 길이는 h이며 여기 이 길이는 꼭대기에서 밑면까지 가는 길이는 h입니다 그리고 밑면의 넓이가 같습니다 예를 들어 왼쪽의 각뿔은 밑면의 넓이가 밑면이 정사각형이라고 가정하면 x · x입니다 따라서 넓이는 x²입니다 따라서 넓이는 x²입니다 따라서 넓이는 x²입니다 그리고 여기 밑면의 넓이는 넓이는 πr²입니다 그리고 이 두 넓이가 같으니 x²은 πr²과 같습니다 여기서 문제는 두 개의 도형의 부피가 같나요? 다르다면 어떤 도형의 부피가 더 큰가요? 동영상을 멈추고 생각해보세요 이제 같이 풀어 봅시다 이 두 도형은 동일한 높이를 가지고 밑면의 넓이가 같습니다 따라서 카발리에리의 원리를 떠올릴 것입니다 이에 대한 복습으로 카발리에리의 원리는 두 도형이 있고 삼차원으로 생각해서 삼차원 카발리에리의 원리는 두 개의 도형이 같은 높이를 가지면 동일한 높이의 단면의 크기는 동일하다면 부피가 같습니다 따라서 해야할 것은 높이의 특정 점에서 단면의 넓이가 같은지 알아봐야 합니다 이를 생각해보면 높이를 따라 임의의 점을 정해봅시다 간단히 하기 위해 높이의 절반을 고릅니다 어떤 높이에서나 확인해도 되지만요 따라서 높이의 절반에서 확인합니다 여기 높이의 절반이죠 따라서 여기 이 점은 h/2입니다 여기 이 거리는 h/2입니다 이 전체 값이 h입니다 여기서 할 수 있는 것은 닮은꼴 같은 삼각형 두 개를 만들고 이 두 삼각형이 닮음이라는 것을 증명합니다 여기에 그려 봅시다 이 둘이 닮음인 것을 아는 이유는 해당 선분이 이 선분에 평행이기 때문입니다 그리고 이 선분은 반지름에 평행합니다 이를 어떻게 아나요? 해당 경우에 단면의 넓이는 밑면과 평행하고 이 경우의 겉넓이와 평행합니다 어떤 경우에서도 해당 단면은 평행합니다 단면에 위치한 선 혹은 밑면의 단면에 위치한 선도 평행합니다 선분들이 평행하기 때문에 해당 각도는 이 각도와 합동입니다 해당 각도는 이 각도와 합동입니다 해당 횡단선은 평행한 선분들을 지나고 이 각은 대응각입니다 물론 이 각은 공유하고요 그리고 이 직각이 보입니다 해당 각도는 이 각도와 합동이고 두 개의 삼각형이 이 각도를 가집니다 따라서 이 두 경우 삼각형은 더 큰 삼각형과 합동입니다 그리고 대응하는 두 변의 비율은 동일합니다 따라서 변이 h/2이고 전체 높이가 h라면 이는 전체 높이의 절반이죠 이는 해당 변이 r의 절반이라는 것입니다 따라서 이 변은 r/2이 되죠 그리고 같은 주장에 의해 해당 변은 x/2가 됩니다 여기서 단면의 넓이는 얼마인가요? 이는 (x/2)²입니다 x/2의 제곱은 x²/4입니다 이는 밑변의 넓이의 1/4입니다 이는 밑변의 넓이의 1/4입니다 여기는 어떤가요? 해당 단면의 넓이는 π · (r/2)²입니다 해당 단면의 넓이는 π · (r/2)²입니다 이는 πr²/4과 같죠 혹은 1/4 ·πr·입니다 이는 밑면의 넓이의 1/4와 같죠 밑면의 넓이는 πr²입니다 이는 1/4 ·πr·입니다 따라서 이는 넓이의 1/4입니다 그리고 이미 이 두 넓이가 같다고 했기 때문에 해당 높이에서의 단면의 넓이는 두 도형의 경우 동일합니다 이를 1/4의 높이에서 혹은 3/4의 높이에서 구해 봅시다 동일한 결과가 나옵니다 두 개의 닮은 삼각형이 있으며 두 개의 삼각형은 넓이가 같고 같은 높이에서 단면의 넓이가 같습니다 따라서 카발리에리의 법칙에 따라 삼차원에서 두 개의 도형은 동일한 부피를 가집니다 여기서 흥미로운 것은 공식을 만든 것입니다 다른 영상에서 증명하고 직관을 얻었죠 각뿔의 부피에 대해서 말이죠 각뿔의 부피는 1/3 · 밑면 · 높이입니다 따라서 이는 동일한 부피를 가집니다 부피는 1/3에 밑면의 넓이와 높이를 곱한 것입니다 이는 두 경우 모두 밑면의 넓이가 같고 높이가 같습니다 그리고 부피가 같은 것도 알았죠