3D에서 카발리에리의 원리

두 3D 도형의 높이와 그 높이에 따르는 모든 점에서의 단면의 넓이가 같다면 둘의 부피는 같습니다.

핵심 아이디어: 두 개의 3D 도형의

높이

와 모든 높이에서의

단면

이 같다면 두 도형의

부피

는 같습니다.

다음과 같은 원리로 작용하는 이유는 무엇인가요?

동전(또는 책, 카드, 또는 평행한 평면을 가진 모든 것)을 쌓아 올린 것을 상상해 봅시다. 쌓아 올린 것의 윗부분을 살짝 민 것은 처음의 부피와는 다른가요? 당연히 다르지 않겠죠!

입체도형을 평행하게 겹겹이 잘라 앞 뒤로 밀어도 부피가 바뀌지 않습니다.

카발리에리의 원리 시뮬레이션을 한 번 해보세요. 슬라이더를 끌어서 쪼갤 수 있는 도형의 수를 바꾸어 보고 이에 따라 원기둥에 어떠한 변화가 있는지 알아보세요.

각기둥과 원기둥에만 카발리에리 원리가 적용되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 원뿔도 잘게 쪼개어 민다면, 부피에 변화가 없다는 것을 알 수 있습니다.

카발리에리의 원리 시뮬레이션을 한 번 해보세요. 원뿔 위에서 마우스를 끌어보세요. 어떻게 기울어져도, 원래의 도형과 부피가 일치하는 것을 볼 수 있습니다.

두 도형 모두

높이

는

21

밑면의 넓이

는

64 π

입니다.

연습문제 1

왼쪽에 있는 원뿔의 부피는 무엇인가요?

\begin{aligned} t e x t {c m}^{3} \end{aligned}

오른쪽에 있는 원뿔의 부피는 무엇인가요?

\begin{aligned} t e x t {c m}^{3} \end{aligned}

카발리에리의 원리에 한가지 더 유용하게 쓰일 수 있는 것이 있습니다. 단면의 모양이 다른 도형이라도 같은 넓이를 가질 수 있다는 것이죠.

문제 2.1

다음 입체도형들의 높이와 밑면의 넓이는 같습니다.

다음 중 부피가 같은 도형은 어느 것인가요?

정렬 기준:

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