극한 속성

이번 영상에서 할 것은 극한의 특성에 대해 설명하는 것입니다 여기서 엄밀한 증명을 하지는 않을 것입니다 극한의 특성들에 대해 엄밀하게 증명하려면 극한의 엄밀한 정의에 대해 알아야 합니다 이번 강의에서는 하지 않겠지만 입실론 델타에 관한 강의에서 극한의 정의에 대해 설명하도록 하겠습니다 대부분이 꽤나 직관적인 성질들이며 극한 문제를 간단히 하는데 좋습니다 어떤 함수의 극한값을 안다고 가정하고 x가 c에 접근할 때 f(x)가 L이 된다고 하겠습니다 다른 함수의 극한도 안다고 가정하겠습니다 예를들어 x가 c에 접근할 때 g(x)가 M이 된다고 하겠습니다 이 때, x가 c에 접근할 때 f(x)+g(x)의 극한값이 무엇이 될까요? 이 문제를 시각적으로 살펴보면 임의의 두 함수의 그래프를 보았을 때 두 함수의 그래프를 더하게 되면 그 그래프가 두 함수를 더한 함수의 그래프와 같습니다 이에 대한 자세한 증명은 하지 않고 직관적인 특성만 알려주자면 f(x)+g(x)의 극한값은 x가 c에 접근할 때 f(x)의 극한값과 g(x)의 극한값의 곱과 동일합니다 위에서 가정했던 것과 같이, 같은 색으로 적으면 이렇게 L+M과 동일하게 됩니다 동일하게 됩니다 너무 어렵지는 않습니다 이는 극한의 합의 법칙이나 합의 성질이라고 부릅니다 약간의 변형을 통해 유사한 성질을 알아볼 수 있습니다 x가 c에 접근할 때 f(x)-g(x)의 극한값은 L-M이 됩니다 f(x)의 극한값인 L에서 g(x)의 극한값인 M을 뺀 것입니다 즉, L-M이 됩니다 이 성질을 극한의 차의 법칙이나 차의 성질이라고 부릅니다 다행히 이 성질 또한 직관적으로 받아들일 수 있습니다 함수의 곱에서는 어떤 일이 일어날까요? x가 c에 접근할 때 f(x)×g(x)의 극한값은 다행스럽게도 x가 c에 접근할 때의 f(x)의 극한값에 g(x)의 극한값을 곱한 것과 같습니다 다행히 이런 극한의 성질들은 직관적으로 알 수 있습니다 곱의 경우에서 결과가 L×M이 되는 것입니다 이처럼 함수 대신 상수로 생각하면 됩니다 예를 들어서 x가 c에 접근할 때 k×f(x)의 극한값은 k가 상수이므로 k를 f(x)의 극한값에 곱한 것과 동일합니다 또한 이부분은 L이 되므로 결과적으로 k×L이 되는 것입니다 이는 상수 곱의 법칙이라고 종종 불립니다 비슷하게 응용할 수도 있습니다 x가 c에 접근할 때 f(x)/g(x)가 있다면 이는 x가 c에 접근할 때의 f(x)의 극한값을 g(x)의 극한값으로 나눈 것과 동일합니다 이제 알겁니다 L/M이 될 것이라는 것을 말입니다 이 성질은 몫의 법칙이라고 불립니다 마지막으로 지수 법칙에 대해 보도록 하겠습니다 이렇게 적어보도록 하겠습니다 f(x)의 거듭제곱의 극한이 있다면 혹은 분수 거듭제곱으로 쓸 수도 있습니다 r/s의 제곱이라고 할 때 (r과 s가 정수) x가 c에 접근할 때 이 결과는 f(x)의 극한값의 r/s거듭제곱과 동일합니다 다시 한번, r과 s가 모두 정수이고 s가 0이 아니라면, s가 0이라면 이 지수는 말이 되지 않으니 L의 r/s거듭제곱이 되는 것입니다 L의 r/s거듭제곱이 되는 것입니다 이 성질들을 사용해서 우리는 많은 함수들의 극한을 알 수 있습니다 극한의 성질들이 좋은 점은 자연스럽게 우리가 원하는 계산 방향과 일치한다는 것입니다 그리고 이 함수들의 그래프를 그려보면 꽤 직관적으로 알 수 있습니다