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주요 내용

결합함수의 극한 정리

x=a 에서 결합함수 f(g(x))의 극한을 살펴본다고 가정합시다. 두 조건하에서 이 극한은 x=a 에서 g(x)의 극한이 L인 f(L)의 값과 같을 것입니다. 첫 번째 조건은 x=a 에서 g(x)의 극한이 존재하는 것입니다 (만약 그렇다면 L과 같다). 두 번째 조건은, x=L에서 f가 연속인 것입니다. 이 조건 중 하나를 충족하지 못하면 극한은f(L) 이라고 추정할 수 없습니다.

동영상 대본

이번 동영상에서는 합성함수의 극한을 이해해 보겠습니다 아니면 적어도 생각해 보는 방법만이라도요 특히 x가 a로 갈 때 f(g(x))의 특히 x가 a로 갈 때 f(g(x))의 극한에 대해 생각해 봅시다 그리고 이것이 어떤 상황에서 f의 x가 a로 갈 때 g(x)의 극한값과 같은지 알아볼 것입니다 f의 x가 a로 갈 때 g(x)의 극한값과 같은지 알아볼 것입니다 그리고 제가 말하는 그러한 상황은 두 개의 필요충분조건이 있습니다 두 개의 필요충분조건이 있습니다 먼저 이 극한이 존재해야 합니다 x가 a에 가까워질 때 g(x)의 극한이 존재할 뿐만 아니라 함수 f가 L에서 연속해야 합니다 함수 f가 L에서 연속해야 합니다 예제를 몇 개 보면서 이 개념을 적용할 수 있는지 혹은 그럴 수 없는지 살펴봅시다 여기 그래프로 나타낸 두 함수가 있습니다 여기 그래프로 나타낸 두 함수가 있습니다 여기 그래프로 나타낸 두 함수가 있습니다 왼쪽은 함수 f이고 오른쪽은 함수 g입니다 그러면 먼저 x가 -3에 가까워질 때 f(g(x))의 극한을 구해 봅시다 f(g(x))의 극한을 구해 봅시다 동영상을 멈추고 그보다 이 정리를 적용할 수 있나요? 그렇다면 이 극한은 무엇인가요? 이 정리를 적용할 수 있는지를 먼저 살펴보아야 합니다 이 정리를 적용할 수 있는지를 먼저 살펴보아야 합니다 x가 -3에 가까워질 때 g(x)의 극한을 구하면 x가 -3에 가까워질 때 g(x)의 극한을 구하면 -3의 오른쪽에서 가까워지면 함수가 3에 있고 왼쪽에서도 3에 있어 보이네요 왼쪽에서도 3에 있어 보이네요 극한은 3입니다 g(-3)은 -2이만요 하지만 이건 점 불연속성입니다 양쪽 어디에서 접근하던 함수의 값은 3입니다 따라서 이건 3입니다 이것이 존재하므로 첫 번째 조건은 성립합니다 두 번째 문제는 함수 f가 이 점 3에서 연속인가 하는 것입니다 x = 3일 때 이 점에서 함수는 연속이 맞습니다 따라서 이 극한을 x가 -3에 가까워질 때 x가 -3에 가까워질 때 g(x)의 극한값의 f값과 같다고 할 수 있습니다 g(x)의 극한값의 f값과 같다고 할 수 있습니다 이것은 3과 같다는 것을 알고 f(3)은 -1임을 알 수 있습니다 f(3)은 -1임을 알 수 있습니다 이 정리의 조건을 만족했고 그리하여 정리를 사용해 극한을 풀 수 있었습니다