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결합함수의 극한 : 부분적으로 정의된 함수

동영상 대본

이 문제에서는 세 개의 극한을 구해야 합니다 항상 그랬듯이 같이 풀어보기 전에 영상을 멈추고 혼자 풀어보세요 첫 번째 문제를 보면 x가 -2에 가까워질 때 f(x)의 값을 구해야 하고 x가 -2에 가까워질 때 g(x)의 값도 구합니다 그리고 이 두 값을 더합니다 하지만 문제가 있습니다 왜냐하면 x가 -2에 가까워질 때 f(x)의 극한을 구하면 왼쪽에서 가까워질 때 1에 가까워 집니다 하지만 오른쪽에서 -2에 가까워질 때 3에 가까워집니다 따라서 극한이 x가 -2에 가까워질 때 존재하지 않네요 이는 g(x)도 동일합니다 왼쪽에서 가까워질 때 3에 가까워지네요 오른쪽에서 가까워질 때 1에 가까워지지만요 하지만 x가 -2에 왼쪽에서 가까워진다면 극한은 존재합니다 f(x) + g(x)는 존재하고 f(x) + g(x)는 존재하고 이는 x가 오른쪽에서 -2에 가까워질 때 f(x) + g(x)와 같습니다 이 식은 뭘까요? 왼쪽에서 -2에 가까워질 때 f(x)는 1에 g(x)는 3에 가까워집니다 따라서 1과 3에 가까워지네요 따라서 합인 4에 가까워집니다 따라서 합인 4에 가까워집니다 오른쪽에서 가까워진다면 f(x)는 3에 가까워지고 g(x)는 1에 가까워집니다 이는 역시 4입니다 왼쪽과 오른쪽의 극한이 같은 값에 수렴하기 때문에 극한이 존재하고 이는 4입니다 x가 1에 가까워질 때의 다음 문제를 풀어봅시다 같은 방식으로 풀어봅니다 다시 각각의 극한을 보면 f(x)가 왼쪽과 오른쪽에서 1에 가까워질 때 극한은 존재하지 않습니다 하지만 합의 극한은 존재할 수 있습니다 한 번 풀어보죠 x가 1에 왼쪽에서 가까워질 때 f(x)와 g(x)의 극한의 합은 어떤 값이 될까요? f(x)가 왼쪽에서 1에 가까워지면 2에 가까워집니다 풀이를 간단히 하고있습니다 g(x)는 1에 왼쪽에서 가까워지면 0에 가까워집니다 이는 2 + 0인 2에 가까워집니다 극한은 x가 오른쪽에서 1에 가까워지면 f(x) + g(x)는 오른쪽에서 1에 가까워질 때 f(x)는 -1에 가까워지고 f(x)는 -1에 가까워지고 g(x)는 오른쪽에서 1에 가까워질 때 0에 가까워집니다 여기선 -1에 가까워지는 것처럼 보입니다 따라서 왼쪽의 극한은 같은 값에 수렴하지 않으며 존재하지 않습니다 마지막 문제는 x가 1에 가까워질 때 f(x)g(x)를 구합니다 같은 방식입니다 x가 1에 왼쪽에서 가까워질 때 f(x)g(x)의 극한의 값입니다 이 값을 여기에 쓸 수 있겠네요 이는 왼쪽에서 가까워집니다 2에 가까워지므로 이 값은 2입니다 그리고 왼쪽에서 1에 가까워지면 0에 가까워집니다 2 곱하기 0인 0에 가까워집니다 오른쪽에서 가까워질 때 x 가 1에 오른쪽에서 가까워질 때 f(x)g(x)의 값을 구해봅시다 f(x)의 오른쪽에서 1에 가까워질 경우를 이미 구했습니다 -1에 가까워지죠 하지만 g(x)는 오른쪽에서 가까워지면 0에 가까워집니다 따라서 이는 0이죠 극한이 존재합니다 같은 극한이 나옵니다 오른쪽과 왼쪽 둘 다 말이죠 이는 0입니다 이는 매우 흥미로운 예입니다 왜냐하면 부분의 극한이 존재하지 않으면 합의 극한이나 곱의 극한은 존재하지 않는다 생각하기 때문이죠 하지만 여기서 항상 그렇지 않다고 증명됐습니다