멱의 법칙: 방정식을 특정 형태로 변환하기

이번 영상에서는 멱의 법칙을 이용해 도함수를 구하는 법을 배울 것입니다 x에 대하여 1/x의 도함수를 구한다고 해 봅시다 이 도함수는 무엇일까요? 영상을 정지하고 스스로 한 번 구해보세요 처음에 생기는 질문은 다음과 같습니다 멱의 법칙이 여기서 어떻게 적용될까요? 멱의 법칙은 다시 상기해 보자면 만약 우리가 x에 대하여 x의 n제곱을 미분한다면 해당 도함수를 구하는 방법은 먼저 지수를 앞으로 가져오는 겁니다 참고로 이는 다른 영상에서 증명한 바 있습니다 이 도함수는 nx에다가 지수를 감소시키면 됩니다 따라서 n - 1이 됩니다 그런데 이 식은 그런 형태가 아닙니다 여기서 요점은 1/x이 x^-1과 같다는 것을 파악하는 것입니다 따라서 이것은 x에 대하여 x^-1을 미분하는 것과 같습니다 이것은 이제 여러분에게 다소 익숙한 형태로 변했습니다 이제 이 도함수를 구하려면 지수를 앞으로 가져옵니다 -1이 되겠죠 그리고 거기에 x의 -1 - 1제곱을 하면 지수가 -1-1이 됩니다 이것은 즉 -x^-2이 됩니다 원하는 도함수를 구했습니다 다른 예제를 한 번 풀어봅시다 이제 f(x)가 ∛x라고 가정하고 f' x가 무엇인지 구해봅시다 영상을 정지하고 스스로 한 번 구해 보세요 아까와 마찬가지로 생기는 질문은 이러한 형태의 식에서 도함수를 구하려면 어떻게 해야 되며 멱의 법칙을 어떻게 활용해야 할까요? 이것의 해법은 식을 지수의 형태로 바꾸는 것입니다 이 식은 x^1/3과 같습니다 따라서 도함수를 구하려면 지수 1/3을 앞으로 가져온 후 x의 1/3 - 1제곱을 하는 것입니다 이제 이것은 1/3 ᐧ x^(1/3 - 1) 이제 이것은 1/3 ᐧ x^(1/3 - 1) 즉 1/3 ᐧ x^(-2/3)이며 이것이 바로 구하려는 도함수입니다 이러한 예제들을 통해 멱의 법칙의 유용함을 느꼈기를 바랍니다 여러분이 처음 생각했던 것보다 훨씬 더 다양한 도함수를 구할 수 있습니다 다른 예를 들어봅시다 이번 예는 복잡하게 만들어 볼게요 x에 대하여 (∛x)²을 미분해 봅시다 이 도함수는 무엇일까요? 사실 도함수를 구하는 것 뿐만 아니라 x가 8일 때 도함수의 값도 한 번 구해봅시다 영상을 정지하고 스스로 한 번 구해보세요 자, 우리가 하려는 것은 이 도함수가 무엇인지 구하고 x가 8일 때 도함수의 값을 계산하는 것입니다 여기에서의 요점은 아까와 마찬가지로 위에서 했던 것과 똑같이 x에 대하여 도함수를 구하는 것입니다 (∛x)²이라고 말하는 대신 이 식은 x²의 1/3제곱이라 바꿔 말할 수 있습니다 이는 즉 다음과 같습니다 만약 어떤 값의 지수에 다시 지수가 붙는다면 두 지수의 곱을 구하면 됩니다 따라서 이것은 x^(2 ᐧ 1/3)이며 이는 즉 2/3제곱입니다 이제 도함수를 구하려면 2/3를 앞으로 가져온 후 2/3 - 1은 무엇일까요? 이는2/3- 3/3과 같으며 즉 -1/3제곱입니다 이제 x가 8일 때의 도함수 값을 구해보도록 합시다 이는 2/3 ᐧ (8)^-1/3입니다 이는 2/3 ᐧ (8)^-1/3입니다 (8)^-1/3은 무엇인가요? (8)^-1/3은 2이며 따라서 (8)^-1/3은 1/2입니다 다시 단계별로 해 봅시다 이런 방법으로 해 봅시다 이는 2/3 ᐧ (1/8)^1/3입니다 그리고 이것은 1/2이며 2/3 ᐧ 1/2은 1/3이고 이것으로 풀이가 끝났습니다