멱의 법칙

이번 강의에서는 멱함수의 미분을 다룹니다 미분할 때 우리의 삶을 편리하게 해 주는 공식이죠 특히 다항함수의 미분에서요 이미 미분의 정의는 익히 아실 거예요 델타 x가 0으로 갈 때, f(x+델타x) - f(x), 전부 델타x로 나눈 극한이죠 어떤 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구하기 위한 식에서 나온 것이었죠 어떤 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구하기 위한 식에서 나온 것이었죠 멱함수 미분공식이 어떤 면에서 편리하냐면 가끔 복잡할 수도 있는 이런 극한을 취하지 않아도 된다는 점이에요 이번 강의에서 증명하지는 않지만, 어떻게 공식을 활용하는지를 배울 것이고 이어지는 강의들에서 왜 이 공식이 말이 되는지를 보고 증명도 할 겁니다 멱함수 미분공식이 뭐냐면요 f(x)라는 함수가 있어서 x의 멱함수인데 즉 x^n 꼴로 n이 0이 아닐 때요 n은 무엇이든 상관 없어요. 양수여도 되고 음수여도 되고, 정수일 필요도 없고요 멱함수 미분공식이 뭐냐면 이 미분을 취하면, f'(x)는 그냥 n, 그러니까 이걸 그냥 앞으로 빼는 거죠 n에다 x를 곱하고, 차수를 하나만큼 내려주면 됩니다 즉 f'(x) = n*x^(n-1)이 돼요 이게 말이 되는지 확인하기 위해 예를 한 두 개 들어볼게요 먼저 f(x) = x^2라 해 봅시다 멱함수 미분공식에 의하면 f'(x)는 어떤 함수가 될까요? 이 경우에는 n=2니까, 2를 앞으로 빼고, 2*x^(2-1)이죠 즉 2*x^1이고 그냥 2x와 같아요 어렵지 않았죠? g(x)=x^3인 경우를 생각해봅시다 이 경우에 g'(x)는 뭐가 될까요? n이 3이니까 그냥 공식에 대입하는 건데, 뭐 엄청나게 쉬울 건데요 3*x^(3-1)이니까 3x^2이죠 그게 끝이에요! 이게 정말 말이 되는지는 나중 강의에서 확인하겠지만요 예를 하나 더 들어볼게요 꼭 양의 정수에만 적용되는 건 아니라는 걸 보여드리려고요 h(x)=x^(-100)인 경우가 있을 수 있겠죠 멱함수 미분공식에 의하면 h'(x)는 뭐죠? n=-100이니까 -100 x^(-100-1)이겠고 -100x^(-101)이군요 하나 더 해봅시다 z(x)=x^2.571이었다고 해봐요 z'(x)가 뭔지가 궁금하죠 다시, 멱함수 미분공식을 쓰면 참 편리한데 결국 이게 뭐가 되냐면 2.571 * x^(2.571 - 1)이고, 화면 밖으로 삐져나가지 않아야죠 2.571*x^1.571이네요 재미있으셨기를 바랍니다 이어지는 강의들에서 배울 것은 도함수의 더욱 다양한 성질과, 멱함수 미분공식이 적어도 직관적으로 왜 성립하는지를 알아보고, 몇 가지 경우에 대해서 공식을 증명도 해 보겠습니다