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단원 7: 함수의 미분 전략

함수의 미분 전략

미분에는 매우 다양한 공식이 있으며 사용하는 방법도 여러가지입니다. 그러므로 미분의 전반적인 흐름을 배워서 어떤 함수이던지 도함수를 실수 없이 찾을 수 있게 공부해 봅시다.

수많은 미적분학 수강생들은 도함수 법칙 자체는 잘 알고 있지만 이를 알맞게 상황에 적용하는 것에 어려움을 겪습니다. 이 문제를 해결하기 위해서, 함수를 빠르게 분류하고, 어떤 법칙을 적용해야 하며, 심지어 다른 형태로 함수를 다시 나타내어 미분을 쉽게 만드는 방법을 배우고자 합니다.

참고로, 다음은 가장 일반적인 도함수 법칙의 요약입니다:

이름	법칙
멱의 법칙	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n \cdot x^{n - 1}$ ‍
합의 법칙	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
곱의 법칙	$\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
함수의 몫의 미분법	$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
합성함수의 미분법	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ‍

마지막 세 법칙을 중점적으로 살펴볼 것입니다. 이들이 적용하기 제일 어렵기 때문입니다.

곱의 법칙, 함수의 몫의 미분법, 합성함수의 미분법 구분하기

대부분의 도함수 법칙은

\sin (x)

의 도함수에 대한 법칙이나, 멱의 법칙과 같은 특정한 함수의 미분을 어떻게 하는지 알려줍니다.

그러나, 일반적으로 적용할 수 있는 매우 중요한 세 가지 법칙이 있으며, 미분하려는 함수의 구조에 따라서 달라집니다. 이들은 바로 곱의 법칙, 함수의 몫의 미분법, 합성함수의 미분법이므로 잘 살펴 보길 바랍니다. 스스로에게 질문을 던져보세요: "함수의 곱셈, 나눗셈, 혹은 합성이 보이나요?"

곱셈:

(x^{2} + 1) \cdot \sin (x)

와 같은 함수가 있다면, 두 함수의 곱이 보일 것입니다. 여기서, 곱의 법칙을 적용할 수 있습니다.

나눗셈: 마찬가지로,

\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

와 같은 함수가 있다면, 한 함수가 다른 함수를 나누었다는 것이 보일 것입니다. 여기서 함수의 몫의 미분법이 적용될 것입니다.

합성: 마지막으로,

(2 x^{2} - 4)^{5}

과 같은 함수가 있다면, 내부함수와 외부함수가 무엇인지 생각해 보세요:

\underset{외부}{\underset{⏟}{(\overset{내부}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

이런 종류의 함수를 합성함수라고 부르고, 그 도함수를 구하기 위해서 합성 함수의 미분법을 적용할 수 있습니다.

연습문제 1

제이크는

(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)

의 도함수를 구하고자 합니다. 계산 과정은 다음과 같습니다:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \cdot \frac{d}{d x} [\sin (x)] \\ = (2 x + 5) \cdot \cos (x) \\ = 2 x \cdot \cos (x) + 5 \cdot \cos (x) \end{aligned}

제이크의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?

(A 선택)
제이크의 과정은 올바릅니다.
(B 선택)
제이크의 과정은 틀립니다. 합성함수의 미분법을 제대로 적용하지 못했습니다.
(C 선택)
제이크의 과정은 틀립니다. 곱의 법칙을 제대로 적용하지 못했습니다.
(D 선택)
제이크의 과정은 틀립니다. $\sin (x)$ ‍를 제대로 미분하지 못했습니다.

일반적인 실수: 곱의 법칙 혹은 함수의 몫의 미분법을 적용하지 않는 것

기억하기: 도함수의 곱은 곱의 법칙을 적용하는 것과 다릅니다.

마찬가지로, 도함수의 나눗셈은 함수의 몫의 미분법을 적용하는 것과 다릅니다.

연습문제 2

레옹은

\sin (x^{2} + 5 x)

의 도함수를 구하고자 합니다. 계산 과정은 다음과 같습니다:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x) \cdot (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x)] \cdot (x^{2} + 5 x) + \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + \sin (x) (2 x + 5) \end{aligned}

레옹의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?

(A 선택)
레옹의 과정은 올바릅니다.
(B 선택)
레옹의 과정은 틀립니다. 합성 함수의 미분법 대신 곱의 법칙을 적용하였습니다.
(C 선택)
레옹의 과정은 틀립니다. 곱의 법칙을 제대로 적용하지 못했습니다.
(D 선택)
레옹의 과정은 틀립니다. $x^{2} + 5 x$ ‍를 제대로 미분하지 못했습니다.

일반적인 실수: 곱셈에서 함수의 표기 혼동

문제 2에서 보았듯이,

\sin (x^{2} + 5)

는 외부함수가

\sin (x)

이고 내부함수가

x^{2} + 5

인 합성함수입니다. 그러나, 어떤 사람들은 표기를 혼동하여 곱

\sin (x) (x^{2} + 5)

로 여깁니다. 이는 완전히 다른 함수이고, 이를 미분하면 잘못된 도함수가 나올 것입니다.

미분을 더 쉽게 하기 위해 함수를 다시 나타낼 수 있습니다.

부딪혀 봅시다: 곱의 법칙, 함수의 몫의 미분법, 합성 함수의 미분법을 적용하면 계산 과정이 너무 길어집니다. 함수의 몫의 미분법은 특히 그렇습니다. 그러나, 굳이 그럴 필요가 없다면 왜 그런 일을 모두 할까요? 다음 세 가지 예제는 미분이 훨씬 쉬워지도록 다시 나타낼 수 있는 곱의 법칙과 함수의 몫의 미분법을 강조합니다.

식을 미분하기 쉽게 만드는 것은 단순히 편리함 때문만이 아닙니다. 미분이 간단해지고 짧아질수록, 실수할 확률도 줄어듭니다!

가끔, 곱셈을 단순한 다항식으로 다시 나타낼 수 있습니다.

(x + 5) (x - 3)

을 미분하기 위해 곱셈 법칙을 적용할 수 있지만, 필요 이상으로 계산 과정이 길어집니다. 대신, 식을

x^{2} + 2 x - 15

로 전개하여 지수 법칙을 적용하고 도함수를 구합니다:

2 x + 2

요점을 정확히 파악하려면, 곱셈 법칙을 사용하는 것이 얼마나 많은 작업이 필요한지 살펴보세요:

곱의 법칙	멱의 법칙
$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x + 5] \cdot (x - 3) + (x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [x - 3] \\ = (1) (x - 3) + (x + 5) (1) \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15] \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍

확실하게 하기: 두 방법 모두 맞지만, 멱의 법칙을 사용하면 시간 절약이 되고, 계산 과정에서 실수할 가능성을 피할 수 있습니다.

연습문제 3

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

멱의 법칙을 사용하여 미분하려면 $f (x)$ ‍를 어떻게 나타낼까요?

마찬가지로, 어떤 함수의 몫의 미분법 문제들은 멱의 법칙을 사용할 수 있도록 다시 나타낼 수 있습니다

함수의 몫의 미분법을 적용하여

\frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

의 도함수를 구할 수 있습니다. 그러나, 먼저 나누어서

0.5 x^{4} - 4 x

를 구하고, 멱의 법칙을 적용하여 도함수

2 x^{3} - 4

를 구하는 것이 더 쉽습니다. 함수가

x = 0

에서 정의되지 않는다는 것을 명심하면, 이것이 바로 도함수가 됩니다.

함수의 몫의 미분법을 이용하여 긴 과정을 겪는다면, 결과는 동일할 것입니다. 하지만, 실수할 확률이 높아집니다.

모든 나눗셈이 이런 방식으로 나타낼 수는 없습니다. 예를 들어,

\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

는 다항식으로 간단히 할 수 없습니다.

명심하기: 분모가 단항식인 경우에는 항상 이 방법을 사용할 수 있습니다.

분모가 두 개 이상의 항을 가진 다항식일 때, 인수분해를 이용하여 공통항을 소거하면 단순화시킬 수 있습니다.

나눗셈을 다시 나타낼 때 정의역을 고려하는 것을 잊지 마세요.

연습문제 4

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

멱의 법칙을 사용하여 미분하기 위해서는 $f (x)$ ‍를 어떻게 다시 나타낼까요?
$x \neq 0$ ‍으로 가정합니다.

마지막 예제: 나눗셈을 곱셈으로 다시 나타내기

많은 사람들에게는 함수의 몫의 미분법보다 곱의 법칙이 기억하기 더 쉽습니다. 다행히도, 나눗셈을 곱셈으로 언제든지 다시 나타낼 수 있습니다.

\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

을 미분하고자 하는데, 함수의 몫의 미분법에서 항의 순서가 기억나지 않는다고 가정합니다. 우선 분자와 분모를 별개의 인수로 분리한 뒤, 나눗셈이 사라지게끔 음의 지수를 이용하여 분모를 다시 나타냅니다.

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \cdot \frac{1}{x^{4}} \\ = \sqrt{x + 3} \cdot x^{- 4} \end{aligned}

이제 곱의 법칙을 사용할 준비가 되었습니다. (참고: 합성 함수의 미분법을 이용하여 제곱근 함수의 내부를 다룰 수도 있습니다.)

연습문제 5

h (x) = \frac{\sin (x)}{3 x}

곱의 법칙을 사용하여 미분하려면 $h (x)$ ‍를 어떻게 나타낼까요?

더 연습이 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.

일반적으로 어려워하는 부분:계산 과정이 복잡하다면, 무리식 또는 역수를 지수로 변환하는게 헷갈릴 수 있습니다 (예:

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

and

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

). 추가적인 연습이 필요하다면, 이 연습문제들을 확인하세요:

요약

도함수에 능숙해 지려면 어떤 법칙을 언제 적용할지 알아야 합니다. 또한, 미분을 더 쉽게 할 수 있도록 식을 다시 나타낼 기회를 파악할 줄 알아야 합니다.

다음은 이 과정을 요약한 플로우차트입니다:

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