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주요 내용

미분하기 전에 함수 연산하기

미분하기 전에 함수를 간단하게 하면 미분을 더 빠르고 쉽게 할 수 있습니다.

동영상 대본

지난 영상에서 배운 몇 개의 미분 공식들을 나열해 놓았습니다 이것이 낮설게 느껴진다면 이 영상을 보지 않는 것을 추천합니다 이번엔 언제 이 공식을 사용하는지 생각해 볼 것이기 때문입니다 이번엔 언제 이 공식을 사용하는지 대수학적으로 방정식을 바꾸어 더 간단한 공식을 사용할 수 있는지도 보겠습니다 간단히 복습을 해 보면 이건 멱의 법칙입니다 x의 거듭제곱의 도함수를 구하기 좋죠 도함수의 합과 차에 함께 사용할 수 있습니다 도함수의 합과 차에 함께 사용할 수 있습니다 그렇게 다항식의 도함수를 구할 수 있죠 이건 곱의 미분법입니다 도함수를 구하고 싶은 방정식이 있는데 두 함수의 곱으로 나타낼 수 있다면 도함수는 첫째 함수의 도함수와 둘째 함수를 곱한 것과 첫째 함수와 둘째 함수의 도함수를 곱한 후 더한 것입니다 다시 말하지만 이것이 익숙치 않거나 잘 모르겠다면 동영상을 보고 멱의 법칙과 곱의 미분법을 복습해 보세요 함수의 몫의 미분법도 해당됩니다 이것은 약간 더 복잡한데 연습하는 동영상을 이미 보았습니다 하지만 이 공식은 기억하지 못한다면 함수의 몫의 미분법은 항상 이것을 f(x)g(x)^-1로 표현해 곱의 미분법으로 대체할 수 있습니다 그러면 곱의 미분법과 네 번째 공식인 합성 함수의 미분법인 연쇄법칙으로 도함수를 구할 수 있습니다 이 중 하나라도 익숙하지 않다면 동영상을 보지 마세요 이 동영상은 이 모든 미분 공식에 익숙한 사람을 위한 것입니다 이제 생각해 볼 것은 언제 어떤 것을 적용할지 고르는 전략입니다 해 봅시다 방정식이 있습니다 (x² + x - 2)/(x - 1)의 도함수를 구한다고 합시다 (x² + x - 2)/(x - 1)의 도함수를 구한다고 합시다 어떤 공식을 사용해야 할까요? 이걸 보고 바로 이건 유리식이니 이걸 f(x)라고 하고 이걸 g(x)라고 해서 함수의 몫의 미분법을 사용하면 된다고 생각할 수 있습니다 이건 두 방정식의 몫처럼 생겼습니다 그렇게 해도 됩니다 모든 계산을 맞게 한다면 정답을 얻을 것입니다 하지만 이 경우 잠깐 멈추고 대수학적으로 간단히 만들어서 좀 더 간단하게 풀 수 있는지 살펴보세요 그렇게 보면 분자를 인수분해 해서 (x + 2)(x - 1)로 나타내 볼 수 있습니다 그러면 이 둘을 소거할 수 있고 이것은 x + 2의 도함수와 같음을 알 수 있습니다 이것은 x + 2의 도함수와 같음을 알 수 있습니다 x + 2의 x에 대한 도함수는 함수의 몫의 미분법을 사용하는 것보다 훨씬 훨씬 더 쉽습니다 함수의 몫의 미분법을 사용하는 것보다 훨씬 훨씬 더 쉽습니다 이건 x에 대한 x의 도함수인 1과 x에 대한 2의 도함수인 0이므로 x에 대한 2의 도함수인 0이므로 결과는 1입니다 이렇게 도함수를 구하면 결국 멱의 법칙을 사용하는 것이죠 대수학적으로 찾아보면 훨씬 간단해질 수 있습니다 다른 예제를 봅시다 이런 문제를 보거나 누군가가 x에 대한 x² +2x - 5 /x의 도함수를 물어보았다고 합시다 x에 대한 x² +2x - 5 /x의 도함수를 물어보았다고 합시다 x에 대한 x² +2x - 5 /x의 도함수를 물어보았다고 합시다 여기서도 함수의 몫의 미분법을 사용하고 싶을 수도 있습니다 이건 두 방정식의 몫처럼 보이니까요 하지만 대수학적으로 변형하면 훨씬 간단하게 만들 수 있습니다 이건 식의 곱으로 나타낼 수 있고 이건 무엇과 같냐면 대괄호 안에만 집중해 보겠습니다 이것은 (x^-1)(x² + 2x - 5)와 같습니다 이것은 (x^-1)(x² + 2x - 5)와 같습니다 그러면 곱의 공식을 사용할 수 있죠 하지만 더 좋은 방법이 있습니다 이 각 항을 x로 나눌 수 있습니다 이 1/x을 각 항에 분배한다고 생각해도 됩니다 x^-1은 1/x과 같습니다 x²을 x로 나누면 x입니다 x²을 x로 나누면 x입니다 2x를 x로 나누면 2고 -5를 x로 나눈 것은 -5/x나 -5x^-1로 나타낼 수 있습니다 이제 이것의 x에 대한 도함수를 구하면 되는데 함수의 몫의 미분법이나 곱의 미분법을 사용하는 것보다 훨씬 쉽습니다 함수의 몫의 미분법이나 곱의 미분법을 사용하는 것보다 훨씬 쉽습니다 이것의 도함수는 1이고 2의 도함수는 0이며 여기에 음수 지수가 있어서 복잡할 것 같아도 멱의 법칙을 사용할 수 있습니다 -1 x -5는 5고 x는 -1에서 1을 빼서 -2 제곱이 됩니다 다시 한 번 대수학적으로 구분해서 간단하게 할 수 있었습니다 이제 간단히 해서 쉽게 만들 수 있는지 구분하는 예제를 몇 개 더 풀어 봅시다 누군가 어떤 x에 대한 도함수를 구하라고 했다고 합시다 저는 x를 도함수를 구하는 기준의 변수로 사용했지만 당연히 다른 어떤 변수도 사용 가능합니다 당연히 다른 어떤 변수도 사용 가능합니다 √(x)/x²이라고 합시다 동영상을 멈추고 어떻게 접근해서 x에 대한 √(x)/x²의 도함수를 구할 수 있는지 생각해 보세요 역시 이건 두 방정식의 몫이니 함수의 몫의 미분법을 적용하려 할 수도 있고 아니면 이건 전과 같이 대괄호 안의 것에 집중하면 이것을 x^-2√(x)로 보고 곱의 미분법을 사용할 수도 있지만 더 간단히 할 수도 있습니다 이것을 x^-2 ᐧ x^(1/2)이라 하면 지수의 성질을 이용해서 -2 + 1/2은 3/2이므로 이건 x^(-1/3)의 도함수입니다 이건 x^(-1/3)의 도함수입니다 여기서 다시 한 번 함수의 몫의 미분법이나 곱의 미분법을 사용할 뻔 한 것을 멱의 법칙을 유지하는 것으로 간단해 졌습니다 멱의 법칙을 유지하는 것으로 간단해 졌습니다 따라서 이것은 -3/2를 앞으로 가지고 나오고 -3/2에서 1을 빼서 x^(-5/2)입니다 -3/2에서 1을 빼서 x^(-5/2)입니다 특히 함수의 몫의 미분법이나 곱의 미분법을 적용하기 전에 대수학적으로 간단히 할 수 있는지 보세요 삼각함수일 때도 있습니다 할 일을 줄이고 덜 복잡하게 만들 수 있습니다 항상 그렇다고 할 순 없지만 일반적으로 시험을 보고 있는데 함수의 몫의 미분법이 잘 그러하듯 이상한 길로 가고 있다면 잠깐 멈추고 함수의 몫의 미분법을 적용하기 전에 대수학적으로 살펴보면서 간단히 할 수 있는지 살펴보세요 간단히 할 수 있는지 살펴보세요 다른 예제를 봅시다 이번에는 확연한 방법은 없고 취향에 따라 좌우되는데 x에 대한 1/(2x -5)의 도함수를 구한다고 해 봅시다 x에 대한 1/(2x -5)의 도함수를 구한다고 해 봅시다 x에 대한 1/(2x -5)의 도함수를 구한다고 해 봅시다 바로 함수의 몫의 미분법을 이용해 분자를 f(x)라 할 수도 있고 그 대신 이 x에 대한 도함수를 그 대신 이 x에 대한 1/2x - 5 대신 (2x - 5)²의 도함수를 구한다고 해 봅시다 이 경우에는 멱의 법칙과 연쇄법칙의 조합을 사용합니다 g(x)는 2x - 5이고 f(g(x))는 이 방정식 전체라 할 수 있습니다 그렇게 연쇄법칙을 적용하면 내부 함수에 대한 바깥 함수 f(x)의 도함수 내부 함수에 대한 바깥 함수 f(x)의 도함수 그러니까 g(x)에 대한 f(g(x))의 도함수는 멱의 법칙으로 이 음수를 앞으로 옯겨오면 멱의 법칙으로 이 음수를 앞으로 옯겨오면 -(2x - 5)^-2가 되고 -(2x - 5)^-2가 되고 이걸 내부 함수의 도함수로 곱하면 됩니다 내부 함수의 도함수는 2x의 도함수는 2 -5의 도함수는 0이므로 2를 곱해 줍니다 정리해서 -2라고 할 수도 있습니다 마무리를 위해 예제 하나만 더 해보겠습니다 꼭 이렇게 해야 한다는 법은 없지만 이런 도함수에 접근하는 방법은 여러가지가 있다는 것을 알 수 있습니다 여러가지가 있다는 것을 알 수 있습니다 누군가 (2x + 1)²의 도함수를 구하라 했다고 합시다 누군가 (2x + 1)²의 도함수를 구하라 했다고 합시다 동영상을 멈추고 어떻게 할지 생각해 보세요 한가지 방법은 방금처럼 연쇄법칙을 적용하는 것입니다 한가지 방법은 방금처럼 연쇄법칙을 적용하는 것입니다 먼저 내부에 대한 외부의 도함수를 구해야 합니다 먼저 내부에 대한 외부의 도함수를 구해야 합니다 2(2x + 1)¹입니다 여기서 1을 뺀 것이니까요 여기에 내부의 도함수인 2를 곱해 줍니다 그러면 4(2x + 1)이 되고 4를 분배하면 8x + 4와 같습니다 4를 분배하면 8x + 4와 같습니다 아주 정당한 방법입니다 그런데 다른 방법도 있습니다 (2x + 1)²을 전개할 수도 있습니다 이것은 x에 대하여 다음 식의 도함수라고 할 수 있습니다 2x의 제곱은 4x²이고 이 항의 곱의 2배인 4x를 더해 주고 1을 더해줍니다 이제 멱의 법칙을 적용하기만 하면 됩니다 약간의 대수학이 더 필요했지만 바로 멱의 법칙을 사용할 수 있고 같은 결과를 얻게 됩니다 여기서 배울 점은 멈추고 방정식을 보라는 것입니다 간단히 할 수 있는지 보고 함수의 몫의 미분법에서 벗어날 수 있다면 더더욱 좋습니다 알거나 기억하기 어려울 수 있고 알아도 복잡해질 수 있기 때문입니다 알아도 복잡해질 수 있기 때문입니다