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전체 집합과 여집합

동영상 대본

이번 강의에서 배울 것은 간단히 요약하자면 전체집합과 여집합, 혹은 공집합입니다 전체집합과 여집합, 혹은 공집합입니다 이를 벤다이어그램으로 나타내면 전체집합은 이렇게 직사각형으로 나타냅니다 이것이 전체집합이고요 대문자 U로 표시해 줍니다 U는 전체집합의 약자입니다 합집합 기호와는 헷갈리면 안 됩니다 전체집합에 포함될 수 있는것은 생각할 수 있는 모든 것입니다 동물, 주방 기구 감정, 이탈리아 음식 그냥 음식들도 가능합니다 그런데 모든 가능성을 열어두고 하면 뭔가 이상하지 않나요? 전체집합에 대해 이야기 할 때 생각하고 있는 모든 것들을 포함시킬 수 있습니다 모든 사람들의 집합, 실수의 집합 모든 국가의 집합 전부 가능합니다 지금은 숫자들만 다루어 보도록 합시다 전체집합 U 내에 부분집합 A가 있습니다 집합 A는 색칠한 부분의 모든 것을 포함하고 있습니다 이제 이야기할 것은 A의 여집합과 절대여집합입니다 다르게 표현하자면 전체집합에는 속하고 있지만 A에는 속하지 않는 모든 것입니다 이미 배웠던 것들이죠 A의 여집합은 U-A로 나타낼 수도 있습니다 U는 전체집합을 나타내는 기호이지 합집합을 나타내는 것이 아닙니다 다른 방식으로 나타내자면 U\A로도 표현가능합니다 이를 벤 다이어그램에서는 어떻게 나타낼까요? U에는 속하지만 A에는 속하지 않는 것들이므로 용어를 바꾸어 보자면 U에 속한 A의 상대적 여집합도 됩니다 전체집합과 어떤 집합의 상대적 여집합을 이야기할 때는 완전여집합이라고도 씁니다 또는 그냥 여집합이라고도 합니다 전부 같아요 A에는 속하지 않지만 전체집합 U에 속하는 것을 가리킵니다 예를 들어가며 좀 더 확실히 정의합시다 집합의 원소로 사용할 수 있는 것들은 동물의 종류, 연예인 등 아무거나 가능합니다 하지만 숫자가 좀 더 간편합니다 이번에 우리가 사용할 전체집합은 정수의 집합이라고 합시다 이 집합은 정수의 집합입니다 대문자 U를 써 줍시다 U는 정수의 집합이네요 약간 다른 이야기지만 정수의 집합은 굵은 글씨로 Z라 씁니다 Z는 독일어 정수(Zahlen)의 약자입니다 여기서 사용되는 굵은 글씨는 칠판용 굵은 글씨입니다 이는 수학자들이 여러 숫자의 집합을 표현할 때 쓰는 기호입니다 이는 수학자들이 여러 숫자의 집합을 표현할 때 쓰는 기호입니다 모든 경우를 오른쪽에 적겠습니다 굵은 R은 실수의 집합입니다 굵은 R은 실수의 집합입니다 굵은 R은 실수의 집합입니다 칠판용 굵은 글씨체로 Q는 이렇게 적습니다 칠판용 굵은 글씨체로 Q는 이렇게 적습니다 칠판용 굵은 글씨체로 Q는 이렇게 적습니다 Q는 유리수의 집합입니다 왜 Q가 유리수를 나타낼까요? 두 가지 이유가 있습니다 R은 이미 사용되었기 때문이기도 하고 Q는 몫을 나타내는 것도 이유입니다 어떤 유리수든지 간에 두 정수 사이의 몫으로 표현할 수 있습니다 왜 정수가 Z인지는 방금 이야기했고요 왜 정수가 Z인지는 방금 이야기했고요 Z와도 같은 우리의 전체집합은 정수의 집합이 되겠네요 부분집합을 정의합시다 부분집합의 기호는 이전까지 사용하지 않았던 걸로 하죠 C라고 합시다 -5, 0, 7을 포함하는 집합입니다 그림에 정확하게 나타낼 수는 없습니다 전체집합의 원소의 수는 무한이지만 C의 원소의 수는 유한이기 때문이죠 하지만 일단은 그려봅시다 이것이 집합 C입니다 C에 속해있는 숫자들과 그렇지 않은 숫자에 대해 생각해 봅시다 -5는 C의 원소입니다 이 기호는 -5가 C의 원소라는 뜻입니다 그리스 문자 ε와 비슷하지만 다른 기호입니다 이 집합에 숫자가 속해있음을 알려주는 기호입니다 0이 집합 C의 원소인 것도 알고 있습니다 물론 7도 마찬가지고요 다른 것들도 해 봅시다 -8은 C의 원소가 아닙니다 53도 마찬가지죠 53은 다른 어딘가에 있습니다 42역시 C의 원소가 아닙니다 42도 다른곳에 있겠네요 이제 C의 여집합에 대해 알아봅시다 C의 여집합은 전체집합에서 C를 뺀 것과 같고 U\C라고 표시되는 전체집합에 대한 C의 상대 여집합이라고 할 수 있습니다 전체집합에 대한 C의 상대 여집합이라고 할 수 있습니다 다 같은 뜻입니다 벤 다이어그램에 나타내 봅시다 초록색으로 색칠한 모든 부분이 되겠네요 -5는 C의 원소이므로 C의 여집합에 속할 수 없습니다 따라서 -5는 C 여집합의 원소가 아닙니다 0도 마찬가지 입니다 0은 C에 속하지 C 여집합에 속하지 않습니다 53은 C 여집합의 원소이군요 42도 마찬가지로 C 여집합의 원소입니다 이해가 되셨으면 좋겠습니다 수고하셨습니다