역사인이란?

만약 제가 길에서 여러분에게 다가가서 sin(π/4)에 대해 물어본다고 가정해봅시다 sin(π/4)에 대해 물어본다고 가정해봅시다 당연하게도 단위는 라디안입니다 여러분들은 답을 외우고 있거나 혹은 단위 원을 생각해서 답을 구해내겠죠 단위 원 처럼 보이지는 않지만 큰 지장은 없습니다 π/4 라디안은 45도와 같습니다 π/4 라디안은 45도와 같습니다 여기 단위 원의 반지름을 그려줍니다 그러면 sine은 단위원의 y좌표 값으로 정의 되므로 그러면 sine은 단위원의 y좌표 값으로 정의 되므로 이 값을 구하면 됩니다 어떻게 구하는지 바로 떠오른 사람이 있을겁니다 여기가 45도니까 삼각형을 조금 크게 그려 봅시다 삼각형이 이렇게 생겼고 여기는 45도 여기도 45도 여기는 90도 빗변의 길이가 1이고 45, 45, 90도를 가지는 삼각형이니까 빗변의 길이가 1이고 45, 45, 90도를 가지는 삼각형이니까 여기를 x 라고 하면 여기도 x입니다 이 두 변의 길이는 같게 됩니다 이등변 삼각형이네요 이 두 각의 크기도 같습니다 자 그럼 x^2 + x^2 = 1이라는 식을 생각할 수 있습니다 1의 제곱은 1이고 2*(x^2) = 1 이니까 x^2 = 1/2 이고 x = sqrt(1/2) 니까 x = 1/( sqrt(2) )이고 유리화를 하기 위해서 sqrt (2) / sqrt( 2) 를 곱해주면 그러면 x = sqrt(2) / 2 임을 알 수가 있어요 그러면 이 삼각형의 높이는 sqrt(2) / 2 이겠네요 이 길이도 같은 값을 가지게 되죠 이 길이도 같은 값을 가지게 되죠 하지만 지금은 sin 값을 구하는 거니까 이 높이 길이가 필요하겠죠 이 높이 길이가 필요하겠죠 이 y 좌표 말이죠 자, 그러면 이 식의 값은 sqrt(2)/2 라는 것을 알 수가 있습니다 지금까지는 단위 원 동영상에서 배웠던 내용의 복습이었습니다 지금까지는 단위 원 비디오에서 배웠던 내용의 복습이었습니다 하지만, 만약 다른 누군가가 arcsin( sqrt(2) / 2)이 무엇인지 물어본다면 어떻게 대답하실 건가요? 무엇인지 물어본다면 어떻게 대답하실 건가요? arcsine 은 뭘까요? 뭔지 대충 감이 오죠? sine은 아는데 이건 뭔지 새로운 삼각함수인가 라는 생각이 드시나요? arcsine이 무엇인지 알려면 arc 가 무엇을 뜻하는지만 알면 됩니다 arc는 역함수를 의미해요 이 식은 다음과 같이 쓰일 수도 있겠네요 sine역함수의 ( sqrt(2) / 2 ) 는 무엇일까요? 이 식은 '각이 어떤 값을 가질 때 sine 값이 ( sqrt(2) / 2 ) 가 될까?' 를 물어보는 거에요 이 식은 각이 어떤 값을 가질 때 sine 값이 ( sqrt(2) / 2 ) 가 되는지를 물어보는 거에요 또는 sine 값이 ( sqrt(2) / 2 )가 되려면 각의 값이 뭐가 되어야 할까라고 물어볼 수도 있어요 방금 말한 것을 식으로 쓸 수 있습니다 한번 해봅시다 방금 말한 것은 sine ( ? ) = sqrt(2) / 2 라는 수식으로 표현할 수 있습니다 방금 말한 것은 sine ( ?) = sqrt(2) / 2 라는 수식으로 표현할 수 있습니다 이렇게 표현하니까 대답하기가 좀 더 쉬워졌네요 이렇게 표현하니까 대답하기가 좀 더 쉬워졌네요 sine( ? ) = sqrt(2) / 2 아까 전에 sine( π/4)의 값이 sqrt(2) / 2 라는 것을 이미 계산을 해 놓았어요 그러면, 이 경우에는 sin(π/4)의 값이 sqrt(2) / 2 라는 것을 알 수가 있겠네요 그러면 ? 의 부분은 π/4가 되겠네요 그럼 이 식을 arcsine으로 다시 표현해봅시다 arcsine( sqrt(2) / 2) = π/4 라고 표현 할 수 있겠네요 아까 복습때 결과를 이용해서 이 식의 답을 구해낼 수 있었어요 아까 복습때 결과를 이용해서 이 식의 답을 구해낼 수 있었어요 아까 복습때 결과를 이용해서 이 식의 답을 구해낼 수 있었어요 하지만 이런 의문을 제기할 수도 있죠 하지만 이런 의문을 제기할 수도 있죠 여기서 해보죠 자, π/4 는 성립 합니다 45도는 성립합니다 그런데, 답에 360도(2π)를 계속해서 더해도 답은 똑같아요 그런데, 답에 360도(2π)를 계속해서 더해도 답은 똑같아요 왜냐하면, 단위원에서 계속해서 2π를 더해도 같은 지점을 가리키기 때문이죠 왜냐하면, 단위원에서 계속해서 2π를 더해도 같은 지점을 가리키기 때문이죠 여러분이 제기한 의문은 정확했습니다 그럼 이 모든 값들이 정답이 될 수 있겠죠? 그럼 이 모든 값들이 정답이 될 수 있겠죠? 왜냐하면 방금 한 것 처럼 계속해서 360도를 더해나갈 수 있으니까요 왜냐하면 방금 한 것 처럼 계속해서 360도를 더해나갈 수 있으니까요 그 중에서 어떤 값을 택하든 sqrt2/2가 나올 것입니다 자, 그런데 여기 문제가 하나 있습니다 함수는 하나의 x 값에 대해서 여러개의 f(x) 값을 가질 수가 없어요 함수는 하나의 x 값에 대해서 여러개의 f(x) 값을 가질 수가 없어요 함수는 하나의 x 값에 대해서 여러개의 f(x) 값을 가질 수가 없어요 아까 한 것처럼 π/4 도 성립하고 ( π/4 + 2π)도 성립하고 ( π/4 + 4π )도 성립한다면 이 sine의 역함수를 함수로 볼 수는 없겠네요 이 sine의 역함수를 함수로 볼 수는 없겠네요 arcsine 을 함수로 만들기 위해서는 범위를 정해주어야 해요 그러면, arcsine 에 대한 범위를 정해봅시다 그러면, arcsine 에 대한 범위를 정해봅시다 그러면, arcsine 에 대한 범위를 정해봅시다 이 함수의 정의역은 어떻게 될까요? 이 함수의 정의역은 어떻게 될까요? arcsine 에 어떤 값을 취하는 것이니까 arcsin (x) = θ ' 라고 합시다 그럼 x의 범위는 어떻게 정해야 할까요 arcsin (x) = θ ' 라고 합시다 그럼 x의 범위는 어떻게 정해야 할까요 x 는 어떤 값들을 가질 수 있나요? x 는 어떤 값들을 가질 수 있나요? sine 에 어떤 각을 취하던 간에 그 값은 -1 에서 1 사이의 값만을 가질 수가 있어요 그러면 x의 범위는 -1 ≤ x ≤ 1이 됩니다 그러면 x의 범위는 -1 ≤ x ≤ 1이 됩니다 이 범위가 정의역이 되겠네요 이 함수가 유효한 함수이려면 치역도 다시 정해주어야 겠죠 가능한 값으로요 이 값의 범위를 정해주어야 합니다 arcsine은 대부분의 사람들이 제1사분면과 제4사분면에서 정의를 하게 됩니다 즉, θ가 가질 수 있는 값을 단위원에서의 이 범위로 제한하려고 합니다 그러면 θ 는 -(π/2) 에서 (π/2) 사이의 범위를 가지게 되겠네요 그러면 θ 는 -(π/2) 에서 (π/2) 사이의 범위를 가지게 되겠네요 이렇게 하면 arcsine 을 조금 더 이해할 수 있을거에요 자, 또 다른 문제를 하나 더 살펴봅시다 깨끗한 이 공간으로 이동합시다 또 다른 arcsine 을 예로 들어볼게요 arcsin( -sqrt(3) / 2) 의 값을 알아보려고 합니다 arcsin( -sqrt(3) / 2) 의 값을 알아보려고 합니다 이미 값을 외우고 있으면 바로 이 식의 답을 알 수 있을거에요 이미 값을 외우고 있으면 바로 이 식의 답을 알 수 있을거에요 이미 값을 외우고 있으면 바로 이 식의 답을 알 수 있을거에요 그럼 끝나겠죠 하지만, 저는 기억력이 좋지 않아서 원을 그려서 알아봐야겠어요 arcsine 을 다룰 때는 제1,4 사분면만 그리게 됩니다 arcsine 을 다룰 때는 제1,4 사분면만 그리게 됩니다 여기가 y 축이고 여기는 x 축에요 x 그리고 y 이제 뭘 해야 할까요? 만약 어떤 각의 sin 값이 (-sqrt(3) / 2) 이라는건 그 각을 가지는 단위원 위의 점의 y좌표가 (-sqrt(3) / 2) 라고 할 수가 있어요 그 각을 가지는 단위원 위의 점의 y좌표가 (-sqrt(3) / 2) 라고 할 수가 있어요 그러면 여기가 되겠네요 그러면 이 점의 y 좌표는 (-sqrt(3) / 2) 겠네요 여기가 우리가 찾던 지점입니다 그러면 이때 각은 뭐가 되나요? 조금만 더 생각해봅시다 y 좌표가 (-sqrt(3) / 2)일때 각은 이 부분이 되겠네요 이때 각의 부호는 마이너스입니다 왜냐하면 x축에서 시계방향에 위치해 있으니까요 그러면, 각을 알아보기 위해서 삼각형을 그려 봅시다 좀 더 좋은 색을 골라보죠 이 삼각형을 이용합시다 파란색으로 해봅시다 이 삼각형을 확대해서 그려 볼게요 이렇게요 여기는 θ 여기는 θ 그러면 이 부분의 길이는 무엇일까요? 이 길이는 y 좌표의 값과 같다고 볼 수 있겠네요 이 길이는 y 좌표의 값과 같다고 볼 수 있겠네요 값은 -sqrt(3) / 2 이고요 아까는 좌표축에서는 x 축 아래여서 - 값이었는데 여기서는 각만 알면 되니까 - 부호는 뺐어요 이 변의 길이가 sqrt(3) / 2인 삼각형을 보면 각이 30도, 60도, 90도인 삼각형이 떠오르지 않나요? 여기가 sqrt(3) / 2 니까 이 부분은 1/2 이고 당연히 빗변은 1이겠죠 왜냐하면 단위원에 그렸으니까요 그러면 반지름은 당연히 1이겠죠 이 삼각형에서 맞은변의 길이가 sqrt(3) / 2 이니까 θ는 60도 에요 그러면 여기는 30도가 되겠네요 우리가 구하려고 했던 θ의 값은 60도네요 그런데 이건 크기이고 실제로는 - 값을 가져야 되니까 답은 - 60 도가 되겠네요 따라서 θ = - 60도에요 하지만 지금까지 우리는 라디안으로 표기 했으니 이것도 라디안으로 표기합시다 π 라디안은 180도와 같은 값을 가지니까 π 라디안은 180도와 같은 값을 가지니까 각 단위는 사라지고 세타 = -π/3 라디안 이라는 것을 알 수가 있어요 세타 = -π/3 라디안 이라는 것을 알 수가 있어요 그러면 주어진 문제를 풀 수가 있습니다 arcsin( -sqrt(3) / 2 ) = - π/3이라고 할 수 있겠네요 arcsin( -sqrt(3) / 2 ) = - π/3이라고 할 수 있겠네요 아니면 sin의 역함수( - π/3 ) = -sqrt(3) / 2 로 표현할 수도 있습니다 아니면 sin의 역함수( - π/3 ) = -sqrt(3) / 2 로 표현할 수도 있습니다 우리가 계산한게 맞는지 확인해 보기 위해서 계산기를 사용해봅시다 라디안 모드로 바꾸어져 있는지 확인하고 사용해야 겠죠 라디안 모드로 바꾸어져 있는지 확인하고 사용해야 겠죠 모드를 눌러서 지금 라디안 모드에 있는 것을 볼 수 있어요 자, 그러면 우리가 맞게 계산했는지 계산기로 알아봅시다 sin 역함수의 값이 필요 하겠네요 sine 역함수 버튼을 눌러주고 그리고 - sqrt(3) / 2 를 입력하면 -1.04719....라디안 이라고 나오네요 이 식을 계산한 값이 -1.047....라디안 이라고 하네요 그러면 π/3 의 값은 1.047...의 값이 나오겠네요 그러면 맞는지 확인해 봅시다 - π/3은 어떤 값이 나올까요? 완전히 같은 값이 나오네요 계산기에서는 계산을 조금 더 쉽게 할 수는 있겠지만 그렇게 도움이 되지는 않네요 왜냐하면 이 값이 -π/3 인지는 안 알려주니까요