행렬곱의 결합법칙

어떤 선형변환에 대해서 S는 벡터의 집합 x에서 y로의 변환이고 T는 y에서 z로의 선형변환이면 S와 T를 결합하여 x에서 시작해서 z로 변환되는 선형 변환을 만들 수 있습니다 언젠가 강의 동영상에서 이걸 다뤘었지요 선형 변환의 정의나 선형 변환의 합성에 대해서도요 S와 T를 결합하고 어떤 벡터 x를 정의역인 집합 X에 가하면 S(T(x))가 됩니다. 이렇게 정의하기로 했었죠 만약 S(x)가 행렬 A와 벡터 x간의 곱셈인 행렬 벡터 곱 Ax로 나타낼 수 있고 T(x)가 행렬 B와 x간의 곱 Bx로 나타낼 수 있다면 S(T(x))를 A(T(x))로 쓸 수 있고 T(x)는 Bx니까 A(Bx)로 볼 수 있겠지요 기존 강의들에서 나온 행렬 곱에 대한 정의에 따라 이를 ABx로 쓸 수 있겠네요 두 행렬의 곱을 취하면 다른 행렬이 생기니까 행렬 AB와 x간의 행렬 벡터 곱이 되겠네요 선형 변환의 합성에서 첫 번째 선형 변환인 행렬 A를 두 번째 행렬과의 행렬 곱을 구하는 것입니다 여기까지는 복습이었습니다 이번에는 세 개의 선형 변환을 취해 봅시다 선형 변환 H를 벡터 x에 가하면 벡터 x를 행렬 A와 곱하는 것과 같겠지요 선형 변환 G가 있다고 가정해 봅시다 이를 벡터 x에 적용하게 되면 벡터x를 행렬 B와 곱하는 것과 같습니다 다음으로는 마지막 선형 변환인 F가 있습니다 어떤 벡터 x에 이를 가하면 벡터 x를 행렬 C와 곱하는 것과 같겠군요 H와 G의 합성을 취한 다음 이를 F와 합성하면 어떻게 될까요? 이 선형 변환들의 합성에 어떤 벡터 x를 가합니다 벡터 x는 반드시 F의 정의역에 포함되어 있어야 합니다 이들의 정의역과 공역을 정의하지는 않았지만 무슨 뜻인지는 이해하실 겁니다 이게 뭔지 좀 알아 보겠습니다 행렬의 합성에 대한 행렬의 합성에 대한 이 정의를 방금 다룬 내용에 바로 적용할 수 있습니다 H·G를 S라고 생각하고 F를 T라고 생각합시다 그럼 이게 어떻게 될까요? 내용을 바로 비교해 보면 변환 S는 x에 적용된 변환 F에 적용됩니다 그래서 S는 H·G입니다 G와 H의 합성을 S로 볼 수 있겠지요 이것을 x에 적용된 F에 적용합니다 F는 여기서 T입니다 이를 x에 적용된 F에 적용합니다 이제 이건 뭐랑 같을까요? 이제 이 F(x)를 우리의 x라고 생각합시다 위쪽의 정의와 비교해보면 행렬 G를 T라고 생각하고 행렬 H를 S라고 생각하면 되겠네요 위쪽의 정의와 비교해볼때 이는 뭐랑 같을까요? 합성의 정의에서 바로 도출할 수 있겠지요 먼저 S가 나오는데, 여기서 S는 H입니다 다음으로는 T가 나오고 여기서 T는 G입니다 T 다음에는 x가 나오지만 여기서는 x에 변환 F가 가해진 Fx가 있습니다 그래서 G(F(x))가 되겠네요 이 둘은 서로 같습니다 H와 G의 합성과 F와의 합성이 H와 G의 합성과 F와의 합성이 x에 가해지는데 이는 H(G(F(x)))와 같습니다 그럼 이건 뭐와 같을까요? 이건 뭐와 같냐면, 여기에 적겠습니다. 이건 변환 H가 이 뒤에 적용된 것인데, 이 항은 뭔가요? 분홍색으로 쓰겠습니다 이게 뭘 뜻하나요? G와 F의 합성이 x에 가해진 것입니다 S를 G로, F를 T로 바꾸면 바로 나오네요 G와 F의 합성 G·F가 x에 가해진 겁니다 그게 다에요. 이것과 똑같은 것은 무엇일까요? 서로 다른 색깔의 두 개의 괄호를 보는 것은 혼란스럽지만 무슨 뜻인지는 알 수 있겠지요 이건 무엇과 같을까요? 합성에 대한 정의로 돌아가봅시다 뭘 하고 있는지 더 확실히 해 두고 싶군요 G·F를 T라고 생각하고 H를 S라고 생각한다면 이를 S와 T의 합성이 x에 가해진 것으로 볼 수 있습니다 그래서 이걸 다음과 같이 쓸 수 있겠네요 H를 G와 F의 합성과 합성하고 x를 여기에 가하는 것이라고 할 수 있습니다 이러한 과정을 통해서 무엇을 알 수 있을까요? 행렬의 합성에 결합법칙이 적용된다는 것을 볼 수 있겠네요 이 모든 등식들을 처음부터 끝까지 거쳐갔습니다 괄호를 어디에 써도 상관이 없습니다 H와 G의 합성을 F와 합성하는 것은 H를 G와 F의 합성과 합성하는 것과 동일합니다 이 두 가지가 동등하기 때문에 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다 괄호는 사실상 필요가 없습니다 이를 H와 G와 F의 합성이 x에 가해진 것이라고 쓸 수 있습니다 앞서 이 선형 변환들을 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다고 말했습니다 왜 그랬을까요? 어떠한 합성 즉 S와 T를 합성할 때의 변환을 행렬로 나타내게 되면 정의상 이는 두 행렬의 곱과 같아질 것입니다 S의 변환 행렬과 T의 변환 행렬간의 곱 말입니다 그러면 이는 무엇과 같아질까요? 여기의 변환을 생각해 봅시다 이 변환의 행렬을 말입니다 한번 적어보겠습니다 H와 G의 합성을 행렬로 나타내고, 이를 F와 합성한 뒤 x에 가한 것은 이 행렬들의 곱과 같겠지요 앞서 보신 것처럼 말입니다 이 합성에서 두 행렬은 A와 B가 됩니다 H와 G의 행렬이 A와 B입니다 AB가 되겠네요 소괄호도 씌우겠습니다 이 행렬을 이용해서, 행렬 곱을 취하면 H·G의 행렬은 AB가 되겠지요 그리고 F의 행렬은 C입니다 이 전체의 행렬을 나타내면 이 AB의 곱을 구한 뒤 C와의 곱을 구하면 되겠네요 AB 그리고 C 여기 보이는 대로 이 모든 것에 벡터 x를 곱해야겠지요 벡터 x입니다 이제는 여기를 보겠습니다 H를 G와 F를 합성한 것에 합성한 뒤 벡터 x를 가하면 어떤 값이 나올까요? 이 합성을 행렬로 나타내는 것이 B와 C의 곱이 된다고 할 수 있겠네요 그리고 이를 x에 적용하겠습니다 먼저 곱 BC를 가지고 이것을 H를 행렬로 나타낸 것인 A와 곱하겠습니다 이는 전에 했던 내용인데요 세 개를 이용해서 보인 적은 없지만 응용해보겠습니다 응용이 가능하다는 것을 보았기 때문에 정의를 계속 적용할 수 있습니다 위에서 보였던 이 성질을 계속 적용하면 자연스럽게 응용이 가능합니다 각 시행에서는 두 개의 합성만이 진행되기 때문입니다 비록 세 개의 합성을 구하는 것처럼 보이더라도 먼저 두 개의 합성만을 구하는 식으로 진행하고 있습니다 그리고 나서는 행렬 표현을 얻습니다 행렬 표현을 얻고 나서는 다른 것과의 합성을 구합니다 전체를 합성한 것의 행렬 표현은 이 행렬과 이 행렬의 곱일 것입니다 여기서 한 내용이죠 비슷하게 여기서는 뒤쪽 두 선형 변환의 합성을 먼저 구하고 이들의 행렬 표현은 여기 있습니다 그리고 이를 그 앞의 변환과 합성합니다 전체의 행렬 표현은 이 앞의 행렬과 이 뒤 행렬의 곱이 되겠지요 A 곱하기 BC입니다 물론 벡터 x를 가해야겠지요 이 동영상에서 이들 둘이 동등하다는 것을 보였습니다 괄호는 전혀 필요하지 않습니다 앞에서 보여드렸지요 거슬러 올라가면 이들은 모두 H(G(F(x)))와 같습니다 그래서 이 두 가지는 동등합니다 마찬가지로 우측의 이들 둘도 서로 동일하다고 할 수 있습니다 A와 B의 곱, AB를 먼저 계산한 다음 행렬 C와의 곱을 취하는 것은 행렬 A를 행렬 B와 C의 곱인 BC와 곱하는 것과 동일합니다 이는 다른 행렬 곱일 뿐입니다. 다른 말로 표현하자면 이 괄호는 중요하지 않으며 이들 모두는 ABC와 동일하다고 할 수 있습니다 혹은, 이는 행렬 곱이 결합법칙을 보인다는 명제라고 할 수 있습니다 결합법칙 괄호를 어디에 두더라도 상관 없습니다 가끔 결합이라는 단어가 혼란스러울 때가 있습니다 이는 단지 괄호가 어디에 위치하던지 상관이 없다는 말입니다 행렬 곱은 교환법칙을 보이지는 않습니다 저번 동영상에서 이를 보았습니다 일반적으로 AB가 BA와 같다고 할 수 없습니다 그렇게 말할 수 없습니다. 심지어는 AB가 정의되어 있을 때 BA가 정의조차 되지 않는 경우도 있다는 것을 보였습니다 혹은 BA가 정의되어 있을 때 AB가 정의되어 있지 않거나요 그래서 이는 교환법칙이 성립하지 않습니다 그러나 결합법칙은 성립합니다 다음 동영상에서는 행렬 곱에서 분배법칙이 성립하는지 알아보도록 하겠습니다