행렬곱의 분배법칙

행렬 A, B 와 C가 있다고 해봅시다 그 중 B와 C는 m × n 행렬이고 A는 k × m 행렬입니다 여기서 하려는 것은 행렬간의 곱에 분배법칙이 성립하는지 확인하는 것입니다 자, 먼저 A×(B+C)를 계산해봅시다 물론 이들은 모두 행렬입니다 조금 더 쉽게 하자면 행렬 B는 열벡터 B1, B2 ..., Bn으로 나타낼 수 있어요 행렬 C 또한 이런 식으로 열벡터로 나타낼 수 있죠 행렬 A도 마찬가지지만 아직 그릴 필요는 없습니다 따라서, 행렬 C를 열벡터 C1, C2, ... , Cn으로 나타낼 수 있습니다 좀 더 크게 그릴 걸 그랬네요 이것은 열벡터이기 때문에 이들에 대해 수직입니다 전에 몇 번 본 적이 있을 거예요 그렇다면 A×(B+C)는 무엇일까요? 먼저, B+C 가 무엇인지 구해봅시다 이는 A×(B+C)와 같습니다 행렬 덧셈의 정의에 따라 B와 C를 더하면 대응하는 열을 더하면 되는데 간단히 말하자면 대응하는 성분을 더하는 것입니다 따라서 첫 열은 B1+ C1 입니다 다음 열은 B2 + C2 입니다 이처럼 n번째 열까지 더하면 됩니다 Bn + Cn이 되겠죠 행렬곱셈의 정의에 따라 이 곱셈의 결과는 행렬 A를 행렬 B + C의 열벡터에 곱한 것이 됩니다 행렬 A를 행렬 B + C의 열벡터에 곱한 것이 됩니다 알다시피 이들은 둘 다 m × n 입니다 덧셈이 가능하려면 두 행렬의 차원이 같아야 하죠 따라서 m × n 행렬입니다 앞에서 말했듯이 행렬 A는 k × m 입니다 A의 행의 개수와 B+C의 열의 개수와 같기 때문에 곱셈이 성립하게 되겠죠 곱셈이 성립합니다 색을 다시 바꿔볼게요 A × (B1+C1) 으로 시작합니다 두 번째 열은 A × (B2+C2) 가 되겠죠 자리가 모자라는군요 이 항은 A × (Bn+Cn) 입니다 이 항은 A × (Bn+Cn) 입니다 이것이 행렬과 행렬 곱셈의 정의입니다 첫 번째 행렬을 두 번째 행렬의 각 열벡터에 곱합니다 이 과정이 가능한 이유는 이미 행렬-벡터 곱셈을 정의하였기 때문이죠 그렇다면 오른쪽은 무엇이 될까요? 계속 색을 바꿔야겠네요 행렬-벡터 곱셈에 분배법칙이 성립하죠 언제 그 영상을 찍었는지 기억도 나지 않는군요 하지만 잠깐 가정했었죠 증명은 아주 간단합니다 따라서 각 열은 이렇게 됩니다 써보도록 하죠 여기 이것은 다시 표현될 수 있습니다 첫 번째 열은 A × B1 + A × C1 입니다 첫 번째 열은 A × B1 + A × C1 입니다 이 항과 이 항은 같습니다 이 항과 이 항은 같습니다 다음 항은 A × B2 + A × C2 입니다 다음 항은 A × B2 + A × C2 입니다 계속해서 하다보면 n번째 열이 나오겠죠 A × Bn + A × Cn 입니다 A × Bn + A × Cn 입니다 이렇게 말이죠 또, 이 행렬을 두 개의 다른 행렬의 덧셈으로 나타낼 수 있습니다 그러면 그 결과는 무엇일까요? 여기에 적겠습니다 AB1은 첫 번째 열 AB2는 두 번째 열 이렇게 n번째 열 ABn까지 나옵니다 따라서 바로 이 식들이 되는 것이죠 그리고 이것은 A × C1 + A × C2... + A × Cn 이 됩니다 이 행렬과는 다른 열을 가지게 되겠죠 이 행렬과는 다른 열을 가지게 되겠죠 이렇게 나타낼 수 있습니다 따라서 명백하게 이 두 벡터를 더하면 대응하는 열벡터를 더하면 이 행렬이 나옵니다 그 결과는 무엇일까요? 정의에 따르면 이것은 행렬 A × B 입니다 행렬 곱셈의 정의는 첫 번째 행렬과 두 번째 행렬의 열벡터를 곱하는 것입니다 첫 번째 행렬과 두 번째 행렬의 열벡터를 곱하는 것입니다 같은 논리로 이건 A × C와 같다고 할 수 있겠죠 여기 수많은 등호를 따라가다 보면 이 식은 A × (B + C)와 같습니다 따라서 곱셈과 덧셈이 성립한다면 그리고 모두 같은 차원이라면 A(B + C) = AB + AC 가 성립합니다 A(B + C) = AB + AC 가 성립합니다 적어도 여기 행렬곱셈은 분배법칙을 적용할 수 있군요 그리고 기억하세요 행렬곱셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다 따라서 (B + C)A가 이와 일치하는지는 알 수가 없습니다 따라서 (B + C)A가 이와 일치하는지는 알 수가 없습니다 사실 대부분의 경우에는 일치하지 않죠 그래서 이 식을 뒤집으면 분배법칙이 성립할지 안할지는 알 수가 없습니다 한번 해보죠 이제 원리를 알고 있으니 속도를 내서 해보겠습니다 (B + C)A를 계산합시다 A를 열벡터로 표현하겠습니다 제 기억이 맞다면 A는 열이 m개 있습니다 따라서 A1, A2, ... , Am까지 있어요 행렬곱셈의 정의에 의해 이것은 B + C 입니다 맞죠? 두 행렬로 표현할 수는 있지만 하나의 행렬로 간주합니다 따라서 B + C 에 A의 각각의 열벡터를 곱합니다 (B + C) × a1 (B + C) × a2 + ... + (B + C) × an 입니다 다시 말하지만 오래 전의 강의에서 언급하였듯이 행렬-벡터 곱셈은 분배법칙이 성립합니다 따라서 이 벡터를 이 두 행렬에 분배할 수 있겠죠 따라서 이 벡터를 이 두 행렬에 분배할 수 있겠죠 아직 증명하진 않았지만 매우 간단합니다 따라서 이 첫 번째 열은 Ba1 + Ca1 입니다 두 번째 열은 Ba2 + Ca2 가 되고 그 결과 Ban + Can 까지 됩니다 그래서 이것이 뭐가 되죠? 한번 써보겠습니다 이것은 [ Ba1 Ba2 ... Ban ] 이것은 [ Ba1 Ba2 ... Ban ] 더하기 [ Ca1 Ca2 ... Can ] 이 되겠죠? 더하기 [ Ca1 Ca2 ... Can ] 이 되겠죠? 이 식은 이 항을 나타낸 것이고 이 식은 이 모든 열벡터의 첫 번째 항을 나타낸 것입니다 이 식은 이 모든 열벡터의 첫 번째 항을 나타낸 것입니다 그리고 행렬곱셈의 정의에 따르면 이것은 BA와 같고, 이건 CA와 같습니다 따라서 분배법칙은 행렬-벡터 곱셈에서 양방향 모두 성립합니다 (B + C)A = BA + CA 이고 A(B + C) = AB + AC 여기서 조심해야 할 부분은 이 두 식은 다르다는 것입니다 방금 이 식이 BA + CA와 같다고 했죠 따라서 분배법칙은 두 방향 모두 성립합니다 하지만 행렬에서는 순서을 맞추는 것이 중요합니다 따라서 여기에 A가 있기 때문에 BA + CA입니다 이것이 AB + AC와 같다고 할 수는 없는거에요 둘의 순서를 바꿀 수 없습니다 여러번 보았고 들은것처럼 행렬곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아요 곱셈의 순서를 못바꾼다는 것이죠 그렇지만 두 방향 모두 분배법칙이 성립하는 것을 알게 되었습니다