선형변환의 합성 2

지난 강의에서 선형변환 S에 대하여 배웠습니다 Rn의 부분공간인 집합 x로부터 집합y로의 변환이었죠 집합 y에서 집합 z로 가는 또 다른 변환도 있었습니다 이 두 가지 선형변환이 주어졌을 때 x에서 z로 한번에 가는 변환을 만들 수 있는지에 대해 공부했었죠? 우리는 어떠한 정의를 내렸습니다 T와 S의 합성이라는 것을 정의했습니다 우선, X의 어떠한 벡터에 S 변환을 적용하여 Y에 속하는 벡터를 얻었습니다 이 부분이죠 그리고 나서 T 변환을 적용시켜 z로 도달할 수 있게 했습니다 이런 식으로 합성을 정의했었죠 우리의 다음 질문은, 이 합성도 선형변환인지의 여부였습니다 그리고 선형변환이라는 것을 증명했어요 선형변환이 되기 위한 두 가지 조건을 만족했기 때문이죠 선형변환이기 때문에 어떤 행렬과 벡터의 곱으로 표현될 수 있을거라고 언급하고 지난 강의를 마무리 했었죠 이 경우에는 l×n의 행렬이 될 것입니다 n차원의 공간 Rn의 부분공간인 x로부터 l차원 공간으로의 사상이기 때문이죠 z는 Rl의 부분공간이므로 이번 강의에서는 이 행렬을 실제로 만들어보도록 합시다 지난 강의의 처음 부분에서 T(X)가 어떤 행렬의 곱 Bx로 표현될 수 있다고 했습니다 이곳에 다시 쓰도록 하죠 어떠한 벡터 x에 적용된 선형변환 T는 행렬과 벡터의 곱, Bx로 쓸 수 있다고 했어요 m차원에서 l차원으로의 사상이니까 l×m의 행렬이라는 것도 알지요 l×m의 행렬이라는 것도 알지요 비슷한 방식으로, S 변환도 행렬과 벡터의 곱으로 쓸 수 있습니다 A가 행렬 a와 벡터 x의 곱이라고 할 수 있겠네요 S는 n차원 공간으로부터 m차원 공간으로의 사상이므로 m×n의 행렬일 것입니다 정의에 의해서, T⚬S는 무엇이지요? 이것은 무엇과 같습니까? 정의에 의해서 이것은 먼저 변환 S를 x에 적용시킵니다 임의로 색깔은 바꿀게요 일단 먼저 변환 S를 x에 적용시킵니다 근본적으로 다음과 같은 벡터가 나오죠 Rm에 속하는 벡터입니다 혹은 Rm의 부분집합 y에 속하는 벡터라고 할 수 있습니다 그리고 z를 얻기 위해 이 벡터에 T 변환을 적용시킵니다 이렇게 주어졌을 때 우리는 변환의 표현 대신에 행렬의 표현을 쓸 수 있습니다 어쨌든 두 개가 같은 것이긴 하지만요 x에 적용된 S 변환은 무엇입니까? 이 부분은 단순히 Ax라고 쓸 수 있겠죠 m×n의 행렬일 것입니다 우리는 이것이 Ax에 적용된 변환과 같다고 할 수 있습니다 이제 그렇다면 임의의 벡터 x에 적용된 T 변환은 무엇일까요? 행렬 B에 벡터 x를 곱한 것이 되겠죠 그러므로 이것은 B곱하기 이 부분이 될 것입니다 그러므로 행렬 A에 x를 곱한 것에 행렬 B를 곱한 것이 되겠네요 이것이 바로 합성변환입니다 T와 S의 합성이 벡터 x에 적용된 것입니다 이 두가지 변환의 행렬 형태를 사용한다면 집합 x로부터 z까지 한번에 변환시켜주는 것이죠 지난 강의의 마지막 부분에서 이 변환과 동일하도록 하는 이 벡터에 곱할 어떠한 행렬을 찾아보자고 했었죠 이제는 그 행렬을 구할 수 있다는 것을 아니다 이것은 선형변환이기 때문에 그러한 행렬이 존재한다는 것을 알죠 그래서 어떻게 할 수 있죠? 지금까지 계속 해온 방식으로 풀어보겠습니다 단위행렬부터 시작하여 각각의 열에 변환을 적용합니다 그렇게 하면 변환을 행렬의 꼴로 나타낼 수 있겠죠 자 그럼 먼저 이 단위행렬의 크기는 얼마나 되야할까요? 변환을 시킬 것이므로 일단 x의 부분집합 혹은 x의 원소라고 할 수 있겠네요 x는 n차원의 공간 즉 Rn의 부분집합입니다 C를 구하기 위해서는 일단 단위행렬을 구해야합니다 n차원의 단위행렬이어야 하겠죠 역이 Rn이니까요 우리는 이것이 어떤 모양인지 압니다 1로 시작해서 0을 쭉 쓸 수 있죠 n×n의 행렬이고 다음과 같이 쓸 수 있겠네요 여기에 0을 쓸 수 있고 열을 따라서 1을 쓰고 나머지는 0으로 채울 수 있습니다 단위행렬은 여러 번 보았었죠 왼쪽 위 부터 오른쪽 아래까지 대각선으로 1을 쓰고 나머지는 0으로 채운 것입니다 변환을 행렬 꼴로 나타낸 C를 구하기 위해서는 이 열들에 변환을 적용시키면 됩니다 행렬 C가 이 열에 변환이 적용된 것과 같다고 쓸 수 있겠습니다 변환이 무엇이죠? 행렬 A에 변환하려는 것을 곱한 것에 행렬 B를 곱한 것이죠 이 경우 우리는 이 부분의 변환을 시키려고 합니다 [1; 0; 0; ... ; 0] 이 부분이요 첫 번째 항만 1이고 나머지는 모두 0인 열이죠 이것이 바로 C의 첫 번째 열이 되겠습니다 C의 두 번째 열은 B 곱하기 A 곱하기 우리의 단위행렬의 두 번째 열이 될거에요 각각이 Rn의 일반적인 기저벡터라는 것을 기억하나요? 그러므로 이것은 E2를 곱한 것과 같습니다 [0; 1; 0; ... ; 0] 이렇게요 이런 방식으로 마지막 열에 닿을 때까지 반복합니다 마지막 열은 B 곱하기 A 곱하기 마지막 항만 1이고 나머지는 모두 0인 열이 되겠네요 n번째 항이 1이라고 할 수 있습니다 그렇다면 이것은 무엇과 같을까요? 충분히 복잡해보이죠 하지만 이러한 형태를 여러 번 보아왔다는 걸 기억하세요 벡터 A, 혹은 행렬 A를 열벡터의 묶음으로 표현해본다고 하면 열벡터 A1, A2, ... , An으로 쓸 수 있겠죠 이것은 n×m의 행렬이라는 것을 이미 배웠습니다 그렇다면 예를 들어 벡터 A 곱하기 x1, x2, ..., xn은 무엇이 될까요? 이미 여러번 보았습니다 이것은 x1A1+x2A2+...+xnAn과 같을 것입니다 이미 여러번 보았어요 이것은 열벡터의 묶음이라고 볼 수 있죠 이 벡터의 성분들로 곱해진 열벡터의 묶음이요 그렇다면 이 식은 어떻게 정리해서 쓸 수 있을까요? A1 곱하기 처음 항목인 x1 더하기 A2 곱하기 두 번째 항목 x2 더하기 A3 곱하기 세 번째 항목 x3 으로 쓸 수 있습니다 하지만 이 항목들은 모두 0입니다 x2에서 xn까지는 모두 0입니다 그러므로 계산해보면 1 곱하기 A의 첫 번째 열만 남겠네요 이렇게 쓸 수 있겠습니다 첫 번째 열은 A에 이 E1 벡터를 곱한 것에 B를 곱한 것 그러므로 A의 첫 번째 열에 1을 곱한 것에 두 번째 열에 0을 곱한 것과 세 번째 열에 0을 곱한 것을 더한 것입니다 그러므로 그냥 1에 A의 첫 번째 열을 곱한 것이 됩니다 그건 그냥 A1이겠죠 간단합니다 그럼 이 부분은 무엇과 같을까요? 0에 A의 첫 번째 열을 곱한 것 더하기 1에 A의 두 번째 열을 곱한 것 더하기 0에 A의 세 번째 열을 곱한 것이고 나머지는 모두 0일 것입니다 그러므로 1에 A의 두 번째 열을 곱한 것과 같을 거에요 변환 행렬의 두 번째 열은 그러니까 B 곱하기 A2가 되겠네요 어떤 방식인지 이해는 가시죠? 다음으로 넘어가서 B 곱하기 A3 B 곱하기 An까지 반복하면 됩니다 이것이 바로 변환 행렬을 푸는 방법입니다 우리가 하려던 것을 잊지 마세요 우리는 이것을 찾으려고 했었죠 우리가 푼 것을 정리해서 써 보도록 할게요 X를 Y로 사상하는 S가 있었습니다 X는 Rn의 부분집합이고 Y는 Rm의 부분집합입니다 이 선형변환이 어떠한 m×n의 행렬 A에 벡터 x를 곱한 것으로 표현될 수 있을 거라고 가정했었죠 또다른 변환도 있었죠 Y에서 Z로 사상하는 T라는 변환이요 Z는 Rl의 부분집합입니다 Y의 벡터에 적용된 변환 T는 당연하게도 그 벡터에 행렬 B를 곱한 것으로 표현할 수 있습니다 여기 괄호를 쓰지 말았어야 했는데 어쨌든 이해는 가시죠 이것은, Rm의 부분집합으로부터 Rl의 부분집합으로의 사상이므로 l×m의 행렬일 것입니다 또한 어떠한 벡터 x에 T와 S의 합성을 적용하면 B가 된다고 했습니다 먼저 S 변환을 적용했습니다 행렬 A와 x를 곱한 것이죠 그리고나서 T 변환을 적용했습니다 여기에 B를 곱한 것이죠 이제 우리는 이것이 선형변환이므로 행렬과 벡터의 곱으로 나타내어질 수 있음을 압니다 그 곱이 무엇인지도 구했습니다 이것은 C 곱하기 x가 되겠네요 그것은 이것과도 이것과도 같습니다 다음과 같이 쓸 수 있습니다 Ba1... 여기서 a1은 행렬 A의 첫 번째 열벡터이죠 두 번째 열은 Ba2가 되겠죠 a2는 A의 두 번째 열벡터입니다 이러한 방식으로 Ban 곱하기 x까지 진행할 수 있습니다 정리해볼게요 어떠한 행렬만 주어진다면 어떤 것이든 이런 식으로 쓸 수 있겠죠 l×m 행렬이라는 점을 기억하세요 m×n인 또다른 행렬이 주어질 때 방금의 과정을 똑같이 할 수 있을 겁니다 어떻게 아냐고요? 여기 각각의 A가 m개의 항목을 가지겠죠? ai라고 쓸 수 있겠습니다 ai는 모두 Rm의 원소일거에요 정의가 명확하게 정리될 수 있습니다 이것은 m개의 열이 있습니다 이것은 m개의 항목이 있죠 그러므로 여기 각각의 행렬와 벡터의 곱은 명확하게 정의됩니다 자, 여기서 흥미로운 점은 이 합성된 변환의 실제 행렬을 구할 수 있다는 것이죠 더 확장해서 생각해봅시다 이것이 행렬 B와 A를 곱한 것과 같다면 좋지 않을까요? B와 A를 곱한 것에 x를 곱한 것이요 이 둘이 같은 것이라면 좋겠죠? 그렇게 되면 T와 S의 합성을 적용한 x가 B의 행렬꼴과 S의 행렬꼴을 곱한 것과 같다고 할 수 있을테니까요 이 둘을 곱해보면 C라고 부르는 새로운 행렬꼴을 만들어낼 수 있겠네요 그리고 x를 곱하겠습니다 각각 곱하지 않고 한 번에 곱할 수 있도록요 사실 이렇게 이 식을 B와 A를 곱한 것과 같다고 두는데 아무런 지장이 없습니다 행렬과 행렬의 곱이 무엇인지 아직 정의하지 않았군요 지금 해봅시다 이렇게 정의할 만한 좋은 이유가 있죠 이 정의를 사용해보도록 합시다 어떠한 행렬 B가 있을 때 B는 l×m의 행렬이라고 합시다 또 다른 행렬 A도 있다고 합시다 A가 어떻게 생겼는지 보여줄게요 a1, a2, ... , an 이들은 모두 열벡터들입니다 이 곱셈을 정의해볼게요 이렇게요 BA를 행렬 B를 행렬 A의 열벡터에 각각 곱한 것과 같다고 정의하겠습니다 Ba1 이것이 첫 번째 열이 되겠죠 다음은 Ba2 Ban까지 쓸 수 있을 거에요 아마도 여러분은 대수학II 수업에서 이것을 접했을지 모르지만 두 개의 강의를 통해서 이를 설명한 것은, 왜 행렬의 곱이 이렇게 정의되는지 보여주기 위해서입니다 왜냐하면 이렇게 함으로써 변환의 합성이라는 개념이 자연스러울 수 있기 때문이죠 하나의 선형변환을 다른 선형변환과 합성하면 그 결과물이 되는 변환 행렬은 우리가 이미 정의했던 것과 같이 각각의 변환행렬을 곱한 것과 같습니다 행렬의 곱을 많이 해보지 않은 여러분들을 위해서 그리고 이 개념이 너무 추상적이라고 생각하는 여러분들을 위해서 다음 강의에서는 많은 예시를 들어 이 개념을 설명해보도록 하겠습니다