If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org과 *.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용

코스: 미적분 > 단원 3

단원 7: 정적분의 활용(3)(속도와 가속도, 곡선의 길이)
수학
미적분
적분법
정적분의 활용(3)(속도와 가속도, 곡선의 길이)
© 2024 Khan Academy이용약관개인정보 보호정책쿠키 방침

운동 문제 (정적분)

구글 클래스룸
운동 문제를 푸는 데 흔히 정적분이 사용됩니다. 예를 들어 속도가 주어졌을 때 물체의 위치를 생각해 볼 수 있습니다. 이것을 어떻게 푸는지 그리고 속도와 속력의 중요한 차이점이 무엇인지 알아봅시다.
운동 문제는 미적분학에서 아주 흔한 문제입니다. 미분학에서 위치 함수가 주어졌을 때 물체의 속도를 구해 보았습니다. 적분학에서는 반대 방향으로 갑니다: 움직이는 물체의 속도 함수가 주어졌을 때 물체의 위치나 위치의 변화를 구할 수 있습니다.

속도, 속력, 정적분 생각해보기

물체가 직선으로 움직이고 t는 초, 속도는 v(t)=5−tm/s라고 해 봅시다.
함수 v의 그래프가 있습니다. 가로축은 t를 나타내고 0부터 10까지입니다. 그래프는 선입니다. 선은 (0, 5)에서 시작해 t축을 (5, 0)에서 교차하고 제4사분면에서 끝납니다.
속도가 양수라면 물체가 선을 따리 진행하고 있는 것이고, 속도가 음수라면 물체가 뒤로 움직이고 있는 것입니다.
t=0초에서 t=10초 사이에 물체의 변위(위치의 변화량)를 구하려고 한다고 합시다. 속도가 물체 위치의 변화율이므로 물체의 위치의 변화는 모두 정적분으로 구할 수 있습니다.
특히 ∫010v(t)dt를 찾고 있습니다.
함수 v의 이전 그래프가 있습니다. 그래프와 t축 사이의 넓이가 t = 0에서 t = 10까지 색칠되어 있습니다. 이는 두 개의 떨어진 넓이이며 t = 5의 왼쪽과 오른쪽에 각각 있습니다.
흥미롭게도 변위는 ∫010v(t)dt=0m입니다 (그래프의 두 넓이가 크기가 같고 부호는 다르다는 것을 볼 수 있습니다).
변위가 0인 것은 물체가 t=0과 t=10초에서 같은 위치에 있다는 뜻입니다. 이는 물체가 처음엔 앞으로 갔다가 뒤로 가는 것을 보면 이해가 되는데, 따라서 시작점으로 다시 돌아갑니다.
입체를 나타내는 점이 수평선 왼쪽 끝에 있고 t = 0, v = 5입니다. 물체는 오른쪽 끝까지 움직였다가 다시 원점으로 돌아옵니다. 오른쪽으로 갈 때 t는 5로 증가하고 v는 0으로 감소합니다. 물체가 다시 왼쪽으로 가며 t는 10으로 증가하고 v는 -5로 감소합니다.
이는 t=0에서 t=10초까지 물체의 움직임의 시뮬레이션입니다(Geogebra로 생성되었습니다).
어쨌든 물체는 움직이긴 했습니다. 물체가 같은 곳에 오기는 했지만 이동한 총 거리를 구하고 싶다고 합시다. 정적분이 여기에 도움이 될 수 있을까요?
네 그렇습니다. 이를 위해 영리한 조작을 사용할 것입니다. 물체의 속도 v를 보는 대신 속력 |v|를 봅시다(v의 절댓값).
함수 v의 이전 그래프가 있습니다. 두 번째 함수, v의 절댓값이 그려져 있습니다. 그래프는 두 개의 선분으로 이루어져 있습니다. 첫 번째는 아래로 (0, 5)에서 (5, 0)까지 갑니다. 두 번째는 위로 (5, 0)에서 (10, 5)를 지납니다.
속력은 얼마나 빠르게 가는지를 나타내고, 속도는 얼마나 빠르게 어느 방향으로 가는지를 나타냅니다. 움직임이 선 위에 있을 때 속도는 음수일 수 있지만, 속력은 항상 양수 (혹은 0)입니다. 따라서 속력은 속도의 절댓값입니다.
이제 물체의 속도를 알게 되었으니 정적분 ∫010|v(t)|dt를 계산해 총 거리를 구할 수 있습니다.
함수 v의 절댓값의 이전 그래프가 있습니다. 그래프와 t축 사이의 넓이가 t = 0에서 t = 10까지 색칠되어 있습니다. 이는 두 개의 떨어진 넓이이며 t = 5의 왼쪽과 오른쪽에 각각 있습니다.
이번에 결과는 양수 25m입니다.

기억하세요: 속도 vs. 속력

속도는 위치의 변화율이므로, 그 정적분은 움직이는 물체의 변위를 나타냅니다.
속력은 총 거리의 변화율이므로, 그 정적분은 위치와 상관 없이 총 이동 거리를 나타냅니다.
연습문제 1
알렉시가 아래 문제를 풀고 있습니다:
입자는 초속 v(t)=−t2+8미터의 속도로 움직이며 t는 초 단위의 시간입니다. t=2일 경우 입자의 시작점으로부터의 거리는 5미터 입니다. t=2 부터 t=6초 까지의 입자가 움직인 거리는 얼마인가요?
다음 중 알렉시는 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
매들린이 아래 문제를 풀고 있습니다:
입자는 직선을 초속 v(t) m미터의 속도로 움직이며, t 는 초 단위의 시간입니다. t=1일 때 입자의 시작점으로부터의 거리는 양의 방향으로 2미터입니다. t=1 에서 t=6 초까지 입자의 변위는 얼마인가요?
다음 중 매들린은 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?
정답을 한 개 고르세요:

정적분과 초기 조건으로 실제 위치 찾기

어떤 운동 문제들은 특정 시간에 물체의 위치를 묻습니다. 정적분은 물체의 위치의 변화만 나타낸다는 것을 기억하세요. 물체의 실제 위치를 찾기 위해서는 초기 조건이 필요합니다.
연습문제 3
디비야가 아래 문제를 풀고 있습니다:
입자는 초속 v(t)=3t−1미터의 속도로 움직이며 t는 초 단위의 시간입니다. t=2일 경우 입자의 시작점으로부터의 거리는 양의 방향으로 8미터 입니다. t=7초에서 입자의 위치는 어디인가요?
다음 중 디비야는 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 하고 싶나요? 이 연습문제를 풀어보세요.

정리: 정적분에 관련된 운동 문제에서 나올 수 있는 경우들

운동 문제에서는 움직이는 물체의 속도가 주어지고 위치를 물었을 때 정적분을 사용합니다. 가능한 문제의 종류는 세 가지입니다:
종류흔한 문장알맞은 방정식
변위"...에서 ...까지 물체의 변위는 무엇인가요?", "...에서 ...까지 물체의 위치의 변화량은 얼마인가요"∫abv(t)dt
총 거리"...에서 ... 동안 물체가 이동한 총 거리는 얼마인가요"∫ab∣v(t)∣dt
실제 위치"...에서 물체의 위치는 얼마인가요."C+∫abv(t)dt C는 초기 조건

대화에 참여하고 싶으신가요?

로그인
포스트가 아직 없습니다.
영어를 잘 하시나요? 그렇다면, 이곳을 클릭하여 미국 칸아카데미에서 어떠한 토론이 진행되고 있는지 둘러 보세요.