예제: 호의 길이

함수 y＝x^(3/2)의 그래프가 있습니다 함수 y＝x^(3/2)의 그래프가 있습니다 이 곡선의 길이를 구해볼 텐데 그 범위는 x＝0부터 깔끔한 계산을 위해 이상한 수의 값에 위치한 점인 x＝32/9까지 적분해봅시다 x＝32/9까지 적분해봅시다 32/9는 3과 5/9이니까 이 정도에 있겠죠 3과 1/2보다 약간 오른쪽에 있을 것입니다 3과 1/2보다 약간 오른쪽에 있을 것입니다 이제 이 노란색으로 표시한 호의 길이를 구해봅시다 x는 0부터 32/9R까지입니다 동영상을 멈추고 스스로 해보길 바랍니다 동영상을 멈추고 스스로 해보길 바랍니다 다 풀었을 것으로 생각하고 풀이해보겠습니다 동영상을 보는 중간에 무언가가 떠오르면 바로 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 바로 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 이제 호의 길이 공식을 적용해봅시다 이전의 동영상에서 그 증명을 해보았으니 호의 길이가 무엇인지는 알고 있겠죠 적어봅시다 호의 길이는 0부터 32/9까지의 정적분과 같고 호의 길이는 0부터 32/9까지의 정적분과 같고 처음에는 일반 공식으로 적고 이를 응용해봅시다 공식은 1＋^2의 제곱근입니다 이 경우에서는 0부터 32/9까지의 정적분입니다 이 경우에서는 0부터 32/9까지의 정적분입니다 여기서 도함수는 무엇일까요? f(x)＝x^(3/2)이니까 f'(x)＝3/2×x^(1/2)입니다 나중에 제곱하기 편하게 하기 위해 이렇게 특별한 함수를 골랐습니다 역도함수를 찾기에 더 간단합니다 역도함수를 찾기에 더 간단합니다 숫자가 잘 맞게 하려고 여러 번의 작업을 거쳤습니다 계속해봅시다 이 식은 f'(x)이고 f'(x)의 제곱을 구해보자면 이 식은 f'(x)이고 f'(x)의 제곱을 구해보자면 9/4×x가 됩니다 1＋9/4×x의 제곱근 그리고 dx입니다 정적분이 있고 이를 어떻게 계산하는지 알고 있으니 정적분이 있고 이를 어떻게 계산하는지 알고 있으니 치환 적분을 해봅시다 치환 적분을 해봅시다 1 ＋ 9/4 × x가 있고 이를 미분하면 9/4이므로 치환 적분을 사용해서 치환 적분을 사용해서 1＋9/4×x를 u로 치환합시다 1＋9/4×x를 u로 치환합시다 u＝1＋9/4×x 이고 du/dx ＝ 9/4 입니다 다르게 표현하면 du ＝ 9/4 dx 입니다 다르게 표현하면 du ＝ 9/4 dx 입니다 dx에 대해 표현하자면 dx에 대해 표현하자면 양변에 4/9를 곱하여 dx ＝ 4/9 du 로 표현할 수 있습니다 이제 적분 범위를 바꿔봅시다 x＝0일 때 u＝1이 됩니다 x＝0일 때 u＝1이 됩니다 x＝0일 때 u＝1이 됩니다 x＝32/9일 때는 u＝32/4＋1 x＝32/9일 때는 u＝32/4＋1 x＝32/9일 때는 u＝32/4＋1 x＝32/9일 때는 u＝32/4＋1 즉 u＝9d입니다 좋은 숫자가 나왔네요 좋은 숫자가 나왔네요 따라서 위 식은 간단한 정적분으로 표현됩니다 따라서 위 식은 간단한 정적분으로 표현됩니다 따라서 위 식은 간단한 정적분으로 표현됩니다 적분 범위는 u＝1부터 u＝9까지이고 적분 범위는 u＝1부터 u＝9까지이고 적분 범위는 u＝1부터 u＝9까지이고 적분 범위는 u＝1부터 u＝9까지이고 u의 제곱근과 dx 대신 4/9 du로 나타냅니다 즉 루트 u 곱하기 즉 루트 u 곱하기 즉 루트 u 곱하기 4/9 du입니다 이 4/9를 적분 밖으로 꺼내고 이제 미적분학의 두 번째 기본정리를 사용해 이제 미적분학의 두 번째 기본정리를 사용해 정적분을 계산해봅시다 이는 루트 u의 역도함수에 4/9배 한 것이고 루트 u는 u^(1/2)과 같습니다 루트 u는 u^(1/2)과 같습니다 즉 이는 u^(3/2)가 되고 앞에 2/3를 곱해줍니다 그리고 u＝9일 때와 u＝1일 때에 대해 계산합니다 그리고 u＝9일 때와 u＝1일 때에 대해 계산합니다 이 식은 4/9×2/3× 입니다 이 식은 4/9×2/3× 입니다 이 식은 4/9×2/3× 입니다 9^(3/2)는 9의 제곱근인 3의 세제곱이니까 9^(3/2)는 9의 제곱근인 3의 세제곱이니까 27이고 이것은 당연히 1입니다 왼쪽에 2/3가 있으므로 앞으로 빼내서 계산하면 더 쉽습니다 앞으로 빼내서 계산하면 더 쉽습니다 2/3×4/9＝8/27입니다 2/3×4/9＝8/27입니다 괄호 안에 27－1이 있으니까 괄호 안에 27－1이 있으니까 27－1＝26이고 26을 곱해줍니다 더 간단히 표현하자면 26의 8배이므로 재밌게 생각해보자면 26의 8배는 160 더하기 48이니까 208/27입니다 끝났습니다 커넥트 번역 봉사단 | 윤진희