미적분을 사용해서 곡선 그리기: 로그함수

함수 f(x) = ln(x⁴+27) 이 있습니다 함수 f(x) = ln(x⁴+27) 이 있습니다 이전에 배운 기술들로 이 함수의 1차 도함수와 2차 도함수를 취해서 계산기 없이 그래프를 그려보죠 계산기 없이 그래프를 그려보죠 시간이 된다면 계산기로 정답을 확인해보기로 하죠 이 함수의 1차 도함수를 구해봅시다 이 함수의 1차 도함수를 구해봅시다 이 함수의 1차 도함수를 구해봅시다 이 함수의 1차 도함수를 구해봅시다 로그 안의 함수를 미분하면 4x³ 이 되는데요 여기다가 전체 함수를 로그 안을 그대로 둔 채 미분한 후 곱해줍니다 lnx 의 도함수는 1/x 입니다 로그 안을 두고 미분하면 1/(x⁴+27) 이 됩니다 이해가 안된다면 체인 룰 영상을 다시 봐주세요 이것이 f(x) 의 일차 도함수입니다 도함수는 4x³/(x⁴+27)로도 적을 수 있고 도함수는 4x³/(x⁴+27)로도 적을 수 있고 4x³(x⁴+27)^(-1) 로도 나타낼 수 있습니다 4x³(x⁴+27)^(-1) 로도 나타낼 수 있습니다 세 표현 모두 똑같은 의미입니다 곱한 형태로 적든 음의 지수를 사용하든 이렇게 분수 형태로 적든 다 똑같죠 이제 이차 도함수를 구해봅시다 이제 이차 도함수를 구해봅시다 곱의 법칙을 사용하면 4x³ 과 (x⁴+27)^(-1) 의 곱을 미분하는 것이므로 4x³ 과 (x⁴+27)^(-1) 의 곱을 미분하는 것이므로 4x³ 을 미분한 12x² 에 4x³ 을 미분한 12x² 에 (x⁴+27)^(-1) 을 곱한 것에다가 4x³ 를 미분하지 않은 채로 4x³ 를 미분하지 않은 채로 (x⁴+27)^(-1)의 도함수와 곱한 것을 더하면 됩니다 (x⁴+27)^(-1)의 도함수와 곱한 것을 더하면 됩니다 괄호 안을 미분하면 상수항은 0이 되므로 4x³ 이 되고 이 식을 곱한 후에 괄호를 놔둔 채 이 식을 미분한 것을 곱하면 됩니다 지수를 계수에 곱해주고 괄호 안은 그대로 둔 다음 지수를 1만큼 줄여 -2제곱이 됩니다 다시 적으면 다시 적으면 이렇게 됩니다 음의 지수를 양의 지수 형태의 분수로 바꿔도 똑같은 셈이죠 음의 지수를 양의 지수 형태의 분수로 바꿔도 똑같은 셈이죠 음의 지수를 양의 지수 형태의 분수로 바꿔도 똑같은 셈이죠 의미가 있는 값은 식을 0으로 만드는 x기 때문에 하나의 분수로 통분하는 것이 두 분수의 합보다 x를 구하기 쉽습니다 분모를 통일시켜 통분하기 위해 분모와 분자에 공통된 인자 (x⁴+27)을 곱해주면 분모와 분자에 공통된 인자 (x⁴+27)을 곱해주면 첫 번째 분수를 이렇게 줄여 쓸 수 있습니다 그저 분자와 분모에 같은 값을 곱했을 뿐 값은 변하지 않습니다 값은 변하지 않습니다 여기에 두 번째 분수가 빼지게 됩니다 여기에 두 번째 분수가 빼지게 됩니다 분모가 같으므로 분자만 더해주면 분모가 같으므로 분자만 더해주면 분모는 그대로에 이 식을 전개한 후 두 번째 분자를 빼주면 이렇게 됩니다 이것이 f(x)의 이차 도함수죠 이제 1차와 2차 도함수가 0이 되는 지점을 찾으면 이제 1차와 2차 도함수가 0이 되는 지점을 찾으면 각각 극점과 변곡점이 될 수 있는 점들을 구할 수 있습니다 각각 극점과 변곡점이 될 수 있는 점들을 구할 수 있습니다 1차 도함수를 0으로 만드는 극점을 찾아봅시다 1차 도함수를 0으로 만드는 극점을 찾아봅시다 극점이 없을 수도 있고요 이 식이 0이므로 이 식이 0이므로 분자가 0이 됩니다 분모를 살펴보면 실수 범위에서 모든 x에 대해 x²은 짝수거듭제곱이라 0이상입니다 음이 아닌 값 27을 더하면 절대 분모는 0이 아닙니다 분모가 0이 아니므로 이 식은 정의되지 않는 극값을 가지지 않습니다 따라서 분자가 0일 수 밖에 없습니다 4x³=0 이 성립하므로 따라서 극점에서 x는 0입니다 왜냐하면 4x³ 이 0이면 x³ 이 0이고 x³ 이 0인 x 가 0이기 때문입니다 f′(0)=0 이 성립하므로 0이 극점의 위치가 됩니다 따라서 0에서의 기울기는 0이고 극댓점인지, 극솟점인지 변곡점인지는 모릅니다 극댓점인지, 극솟점인지 변곡점인지는 모릅니다 극점의 좌표를 구해봅시다 극점의 좌표를 구해봅시다 x 좌표는 0이고 y 좌표는 ln27 이 됩니다 ln27은 약 3.3입니다 ln27은 약 3.3입니다 조금 더 정확하게 3.29라고 합시다 이 점에서의 기울기가 0입니다 이 점에서의 기울기가 0입니다 x=0일 때 말이죠 이제 변곡점을 구해봅시다 이제 변곡점을 구해봅시다 이차 도함수를 0으로 만드는 지점을 구하면 됩니다 이차 도함수를 0으로 만드는 지점을 구하면 됩니다 물론 이차 도함수가 0이라고 반드시 변곡점은 아닙니다 물론 이차 도함수가 0이라고 반드시 변곡점은 아닙니다 변곡점에서 이차 도함수의 값은 반드시 0이 됩니다 변곡점에서 이차 도함수의 값은 반드시 0이 됩니다 요철의 변화가 있기 때문입니다 기울기가 증가하다가 감소하게 될 수도 있고 기울기가 감소하다가 증가할 수도 있습니다 하지만 2차 도함수가 0인 점이 항상 변곡점은 아닙니다 하지만 2차 도함수가 0인 점이 항상 변곡점은 아닙니다 따라서 f″(x)=0을 만족하는 모든 x 를 구한 후에 x 전후로 부호가 변하는지 살펴봐야 합니다 부호 변화가 생기는 점이 변곡점이 됩니다 부호 변화가 생기는 점이 변곡점이 됩니다 다시 말해 이차 도함수가 0인 점이 변곡점이 아니라 변곡점에서는 이차 도함수의 값이 0이고 또한 변곡점 전후로 이차 도함수의 부호가 변합니다 또한 변곡점 전후로 이차 도함수의 부호가 변합니다 따라서 f″(x) 의 부호가 변할 때 x 가 변곡점입니다 이차 도함수의 함숫값이 x 전후로 바뀐다면 x 에서 이차 도함수는 자연스럽게 0이 됩니다 이차 도함수를 0으로 만드는 점들을 찾아봅시다 이차 도함수를 0으로 만드는 점들을 찾아봅시다 이 점들 중 변곡점이 있습니다 이 점들 중 변곡점이 있습니다 이 식을 0으로 만드는 x를 구할 것입니다 이번에도 이 식이 0이 되려면 분자가 0이여야만 합니다 이번에도 이 식이 0이 되려면 분자가 0이여야만 합니다 x 가 실수일 때 분모는 0이 아닙니다 x 가 실수일 때 분모는 0이 아닙니다 분자가 0이 되려면 이 식이 성립합니다 이 식이 성립합니다 이 분자를 0으로 만드는 x는 이차 도함수 역시 0으로 만듭니다 공통인수 4x² 로 묶어내면 27에다가 12를 4로 나눈 3이 남고 -x⁴ 이 남습니다 이 식의 값이 0이 됩니다 이를 만족하는 x는 4x² 이 0이거나 81-x⁴ 이 0이 됩니다 이 둘 중 하나를 만족하면 이차 도함수 전체가 0이 되죠 4x² 이 0이여도 이차 도함수는 0이고 81-x⁴ 이 0이여도 이차 도함수는 0입니다 방정식을 풀면 4x² 은 x 가 0일 때 0입니다 두 번째 식이 0이 되는 x는 x⁴ 을 이항하면 x⁴=81 이 얻어지기 때문에 양변의 제곱근을 취하면 x²=9 이므로 x=3 또는 x=-3 입니다 따라서 0, +3, -3은 변곡점이 될 수 있는 점입니다 이제 이차 도함수의 부호가 변하는지를 보고 변곡점 여부를 판단합시다 x 가 0보다 약간 작을 때는 어떨까요? 각 경우를 모두 생각해보겠습니다 x 의 크기가 0.1 정도일 때 이차 도함수는 어떻게 될까요? x 가 -0.1이라면 이 항은 양수가 됩니다 두 번째 항은 81에서 0.1⁴ 을 빼므로 0.1⁴ 은 매우 작은 수므로 전체 수는 양수 그리고 81에서 매우 작은 수를 뺀 수 두 수의 곱이 됩니다 따라서 양수가 됩니다 따라서 x 가 0보다 약간 작을 때는 이차 도함수는 양수입니다 x 가 0보다 약간 클 때는요? 아까도 0보다 약간만 작은 상황이었죠 그렇다면 0보다 약간만 큰 수에서는 어떨까요? x 가 0.1 이었다고 합시다 두 경우는 매우 유사합니다 모두 제곱이 되어 있고 공통인수 네제곱으로 묶어내기 때문에 x의 부호 정보를 사실상 잃어버립니다 따라서 x 가 0.1일 때 4x² 은 작은 양수입니다 또한 x⁴ 역시 매우 작은 양수이므로 81에서 빼더라도 여전히 양수입니다 81에서 빼더라도 여전히 양수입니다 따라서 두 양수의 곱이 되므로 이차 도함수는 양수가 됩니다 x=0 에서 이차 도함수는 0이 되지만 변곡점은 아닙니다 0 주위에서 함수의 요철은 변화하지 않았습니다 이차 도함수는 좌극한도 우극한도 양수입니다 따라서 0 주변에서는 방향에 상관없이 함숫값은 위쪽으로 오목합니다 0은 극점이었고 위쪽으로 오목한 부분이므로 x=0 은 극솟점입니다 0 근처에서 항상 x=0보다 큰 함숫값을 가지니까요 따라서 0은 변곡점은 아닙니다 이제 ±3 이 변곡점인지 봅시다 분명히 말하자면 이차 도함수의 분자만을 사용하는 이유는 이차 도함수 자체는 이런 함수식이지만 분모는 항상 양수이므로 무시했습니다 식의 부호를 판별할 때는 그저 분자의 부호만 판단하면 됩니다 왜냐하면 분모는 항상 양수이기 때문입니다 완전제곱식의 특징입니다 그래서 x 가 ±3 일 때의 부호 변화를 살펴봅시다 f″(x) 의 분자는 f″(x) 의 분자는 이렇게 적을 수 있습니다 분모는 여길 보면 (x⁴+27)² 이군요 이 이차 도함수의 ±3 근처에서 부호 변화를 살펴봅시다 이번에도 +3과 -3에서의 함숫값이 동일해야 합니다 부호에 상관 없이 말이죠 네제곱을 하고 제곱을 하기 때문입니다 어떠 수의 네제곱은 항상 양수이고 어떤 수의 제곱 역시 항상 양수입니다 따라서 3이 변곡점이면 -3 역시 변곡점이 됩니다 x 가 +3 보다 약간 작다면 f″(x) 의 부호는 어떨까요? 여기 이 부분은 4×9이므로 양수가 됩니다 2.999 든지 3 이든지 양수입니다 따라서 이 부분은 x가 3에 접근할 때 양수입니다 이 부분은 x 가 3이면 0인데 3보다 약간 작을 때는 그러니까 2.999 정도일 때는 이 수는 81 보다 작으니까 괄호 안은 양수가 됩니다 물론 분모는 항상 양수고요 따라서 x 가 3보다 약간 작을 때는 위쪽으로 오목합니다 이차 도함수가 0보다 클 때 함수는 위로 오목합니다 x 가 3보다 약간 클 때는요? 첫 항은 역시 양수군요 하지만 이 경우에는 x⁴ 이 81보다 크므로 음수가 됩니다 양수와 음수의 곱이므로 전체 식이 음수입니다 분모는 여전히 양수니까요 f″(x) < 0 이므로 아래쪽으로 오목합니다 마지막으로 x가 -3보다 약간 클 때는요? -2.99999 정도겠군요 -2.99 를 제곱하면 양수이므로 첫 항은 양수입니다 그리고 -2.99 를 네제곱하면 81 보다 약간 작겠죠? 둘째 항도 양수가 됩니다 양수와 양수의 곱이 양수로 나누어지므로 위쪽으로 오목합니다 f″(x) >0 이니까요 x 가 3보다 약간 작다면 이렇게 적을 때 x>-3인 모든 x 를 의미하는 것이 아니고 x<-3 인 모든 x 를 의미하지 않습니다 -3에 정말 가깝게 접근할 때입니다 -3.1 정도를 생각해봅시다 이 항은 양수입니다 그런데 -3.1 을 네제곱하면 81 보다 크게 되는군요 따라서 이 항은 음수입니다 이차 도함수는 양수 곱하기 음수 나누기 양수니까 음수가 됩니다 아래로 오목하겠군요 이제 그래프를 그릴 수 있습니다 x=±3 은 변곡점이 됩니다 x=±3 은 변곡점이 됩니다 3 보다 약간 작을 때는 위로 오목하고 3일 때 이차 도함수는 0이 되었다가 3보다 약간 커지면서 아래로 오목해집니다 이차 도함수의 부호가 변하기 때문에 3은 분명히 변곡점입니다 -3 역시 동일합니다 두 점은 분명히 변곡점입니다 이제 좌표를 구해봅시다 f(3) 과 f(-3) 을 구해봅시다 그 다음에 그래프를 그릴 수 있습니다 먼저 (0,3.29)가 극솟점인 것을 압니다 왜냐하면 0이 극점인데 0 근처에서 위로 오목하기 때문입니다 0은 변곡점은 아닙니다 그리고 ±3 이 변곡점인 것을 알고 있습니다 두 점의 y 좌표는 같습니다 왜냐하면 ±3 을 네제곱하면 같은 결과가 나오기 때문이죠 3⁴=81 이고 27을 더하면 108 이군요 자연로그 ln 을 취하면 대략 4.7 입니다 ±3 둘 다 4.7입니다 네제곱을 했으니까요 둘 다 변곡점입니다 그러면 이제 그래프를 그릴 수 있습니다 x 축과 y 축을 각각 그립니다 y 축은 f(x) 와 동일합니다 1, 2, 3, 4, 5 에 해당하는 눈금을 그려보면 (0, 3.29) 는 여기쯤 있겠군요 이게 극솟점입니다 x=0 에서 일차 도함수가 0이었으니까 기울기는 0이 되고 극점이 되고 위쪽으로 오목합니다 그리고 +3에서 1, 2, 3 의 눈금을 그릴게요 (3, 4.7) 은 이 정도에 있겠군요 바로 변곡점입니다 3보다 작을 때 위로 오목하고 3보다 클 때 아래로 오목합니다 3보다 클 때 아래로 오목합니다 노란색 선은 잘못되었습니다 다시 그려보죠 1, 2, 3 눈금을 매기고 (3, 4.7) 은 여기에 있고 (-3, 4.7) 은 여기 있습니다 0에서 기울기가 0이고 위로 오목하므로 그래프가 이렇게 그려지는군요 x 가 3보다 작을 때 위로 오목하고 x=3 을 지나고 난 다음 아래로 오목합니다 다시 0 주변에서는 위로 오목하고 x 가 -3보다 클 때는 계속 위로 오목하다가 -3 보다 작아지면서 아래로 볼록해집니다 이 분홍색 부분에서 아래로 오목합니다 그리고 여기 빨간색 부분도 아래로 오목합니다 0 주변에서 위로 오목합니다 이 수식이 나타내는 구간은 그래프에서 이 부분이고요 이 수식은 반대편 구간에 대응됩니다 0 근처에서는 항상 위로 오목한 셈이죠 그래프는 대략 이렇게 그려집니다 x 가 ±∞일 때도 생각해볼 수 있습니다 저는 계산하지 않을게요 하지만 그래프가 옳은지 한 번 봅시다 y=ln(x⁴+27) 을 한 번 그려보면 y=ln(x⁴+27) 을 한 번 그려보면 우리가 그린 것과 유사하군요 거의 같습니다 올바르게 계산해냈습니다 꽤나 만족스러운걸요 여러분들이 변곡점과 이차 도함수 그리고 일차 도함수로 얼마나 유용하게 그래프를 그릴 수 있는지 알았으면 좋겠습니다