주요 내용

이계도함수를 분석해서 변곡점 구하기

함수의 변곡점을 구하는데 이계도함수가 어떻게 사용되는지 배워 봅시다. 또한 하면 안되는 실수에 대해 배워 봅시다.

함수의 변곡점은 이계도함수를 분석해 구할 수 있습니다.

예제: $f (x) = x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ ‍의 변곡점 찾기

1단계: 이계도함수 찾기

f

의 이계도함수를 찾으려면

f^{″}

을 사용합니다:

\begin{aligned} f^{'} (x) & = 5 x^{4} + \frac{20}{3} x^{3} \\ f^{″} (x) & = 20 x^{3} + 20 x^{2} \\ = 20 x^{2} (x + 1) \end{aligned}

2단계: 모든 후보 찾기

임계점과 비슷하게 이 점들은

f^{″} (x) = 0

이거나

f^{″} (x)

가 정의되지 않은 점입니다.

f^{″}

는

x = 0

x = - 1

에서 0이고 모든 실수에 대해 정의되어 있습니다. 따라서

x = 0

x = - 1

은 후보입니다.

3단계: 오목성 분석하기

구간	시험 $x$ ‍값	$f^{″} (x)$ ‍	결론
$x < - 1$ ‍	$x = - 2$ ‍	$f^{″} (- 2) = - 80 < 0$ ‍	$f$ ‍는 위로 볼록합니다 $\cap$ ‍
$- 1 < x < 0$ ‍	$x = - 0.5$ ‍	$f^{″} (- 0.5) = 2.5 > 0$ ‍	$f$ ‍는 아래로 볼록합니다 $\cup$ ‍
$x > 0$ ‍	$x = 1$ ‍	$f^{″} (1) = 40 > 0$ ‍	$f$ ‍는 아래로 볼록합니다 $\cup$ ‍

4단계: 변곡점 찾기

이제

f

가 위로 볼록하거나 아래로 볼록한 구간을 알게 되었으니 변곡점을 찾을 수 있습니다. (i.e. 볼록한 부분이 방향을 바꾸는 지점)

$f$ ‍는 $x = - 1$ ‍ 전에는 위로 볼록하고 후에 아래로 볼록하며 $x = - 1$ ‍에 정의되어 있습니다. 따라서 $f$ ‍는 $x = - 1$ ‍에 변곡점을 가집니다.
$f$ ‍는 $x = 0$ ‍ 전과 후에 아래로 볼록하기 때문에 여기에 변곡점이 없습니다.

f

의 그래프를 보며 이를 확인할 수 있습니다.

연습문제 1

올가는

f (x) = (x - 2)^{4}

이 변곡점을 가지고 있는지 알아보려고 합니다. 다음은 올가의 풀이입니다:

1단계:

\begin{aligned} f^{'} (x) & = 4 (x - 2)^{3} \\ f^{″} (x) & = 12 (x - 2)^{2} \end{aligned}

2단계:

f^{″} (x) = 0

의 해는

x = 2

입니다.

3단계:

f

는

x = 2

에서 변곡점을 가집니다.

올가의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?

(A 선택)
올가는 틀리지 않았습니다.
(B 선택)
1단계가 틀렸습니다. 올가는 $f^{'}$ ‍를 제대로 미분하지 않았습니다.
(C 선택)
2단계가 틀렸습니다. $x = 2$ ‍는 $f^{″} (x) = 0$ ‍의 해가 아닙니다.
(D 선택)
3단계가 틀렸습니다. $x = 2$ ‍는 후보일 뿐입니다.

흔한 실수: 후보를 확인하지 않는 것

기억하세요:

f^{″} (x) = 0

인 (혹은

f^{″} (x)

이 정의되지 않은) 모든 점을 변곡선이라고 가정하면 안됩니다. 그 대신 후보 위치에서 이계도함수가 부호를 바꾸는지 아닌지, 함수가 정의되어 있는지 확인해야 합니다.

연습문제 2

로버트는

g (x) = \sqrt[3]{x}

가 변곡점을 가지고 있는지 알아보려고 합니다. 다음은 로버트의 풀이입니다:

1단계:

\begin{aligned} g^{'} (x) & = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \\ g^{″} (x) & = - \frac{2}{9} x^{- \frac{5}{3}} \\ = - \frac{2}{9 \sqrt[3]{x^{5}}} \end{aligned}

2단계:

g^{″} (x) = 0

은 해가 없습니다.

3단계:

g

는 변곡점이 없습니다.

로버트의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?

(A 선택)
실수하지 않았습니다.
(B 선택)
1단계가 틀렸습니다. 로버트는 $g$ ‍를 제대로 미분하지 않았습니다.
(C 선택)
2단계가 틀렸습니다 $g^{″} (x) = 0$ ‍은 해가 있습니다.
(D 선택)
3단계가 틀렸습니다. 로버트는 $g^{″}$ ‍이 정의되지 않은 점을 고려하지 않았습니다.

흔한 실수: 도함수가 정의되지 않은 점을 포함하지 않는 것

기억하세요. 변곡점의 후보는 이계도함수가 0인 점과 이계도함수가 정의되지 않은 점입니다. 이계도함수가 정의되지 않은 점을 무시하면 틀린 답을 얻게 됩니다.

연습문제 3

톰은

h (x) = x^{2} + 4 x

가 변곡점을 가지고 있는지 알고자 합니다. 다음은 톰의 풀이입니다:

1단계:

h^{'} (x) = 2 x + 4

2단계:

h^{'} (- 2) = 0

이므로

x = - 2

은 변곡점일 수 있습니다.

3단계:

구간	$x$ ‍값	$h^{'} (x)$ ‍	결론
$(- \infty, - 2)$ ‍	$x = - 3$ ‍	$h^{'} (- 3) = - 2 < 0$ ‍	$h$ ‍는 위로 볼록합니다 $\cap$ ‍
$(- 2, \infty)$ ‍	$x = 0$ ‍	$h^{'} (0) = 4 > 0$ ‍	$h$ ‍는 아래로 볼록합니다 $\cup$ ‍

4단계:

h

는

x = - 2

전에 위로 볼록하고

x = - 2

후에 아래로 볼록하므로

h

는

x = - 2

에 변곡점을 가집니다.

톰의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?

(A 선택)
톰은 맞았습니다.
(B 선택)
1단계가 틀렸습니다. 톰은 $h$ ‍를 제대로 미분하지 않았습니다.
(C 선택)
2단계가 틀렸습니다. 톰은 $h^{'}$ ‍이 아니라 $h^{″}$ ‍을 구했어야 합니다.
(D 선택)
4단계가 틀렸습니다. 변곡점은 함수가 아래로 볼록한 것에서 위로 볼록한 것으로 바뀔 때만 있습니다.

흔한 실수: 이계도함수 대신 일계도함수를 보는 것

기억하세요: 변곡점을 볼 때 항상 이계도함수의 부호를 분석해야 합니다. 일계도함수를 사용하면 변곡점이 아니라 극값인 점을 얻게 됩니다.

연습문제 4

g (x) = x^{4} - 12 x^{3} - 42 x^{2} + 7

입니다.

$g$ ‍의 그래프에서 변곡점은 $x$ ‍가 어느 값일 때 생길까요?

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미적분

코스: 미적분 > 단원 2

예제: f(x)=x5+53x4‍ 의 변곡점 찾기

흔한 실수: 후보를 확인하지 않는 것

흔한 실수: 도함수가 정의되지 않은 점을 포함하지 않는 것

흔한 실수: 이계도함수 대신 일계도함수를 보는 것

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예제: $f (x) = x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ ‍의 변곡점 찾기