부분함: 부분합에서 n 번째 항의 공식

이 급수의 n까지의 부분합이 있습니다 n이 1에서 무한대까지 an을 더하는군요 그리고 n항까지의 부분합이 여기 있죠 그리고 실제 an이 어떤지 일반식을 쓰라 합니다 이해를 돕기 위해 시각화해 보죠 a₁+a₂ a₁+a₂+a₃ a₁+a₂+a₃+…+an-1 a₁+a₂+a₃+…+an-1+an 을 하면 이 전체가 제가 쓴 이 전체가 Sn입니다 이 전체가 이 전체가 Sn 즉 (n+1)/(n+10)이죠 즉 (n+1)/(n+10)이죠 an을 구하려면 이 문제의 답이죠 처음 (n-1)개 항의 합을 여기서 뺄 수 있습니다 이걸 빼는 거죠 그래서 이건 Sn-1이죠 그건 뭐랑 같죠? n을 보면 n-1으로 바꾸세요 그럼 (n-1+1)/(n-1+10)인데 이건 n/(n+9)와 같습니다 그래서 파란색에서 빨간색을 빼면 그 결과는 구하는 것이죠 an이요 그래서 an=Sn-Sn-1 an=Sn-Sn-1 또 이건 (n+1)/(n+10) (n+1)/(n+10)-n/(n+9) 이 자체가 an 식입니다 우린 이 분수 두 개를 더해 식을 단순화시킬 수 있죠 그리고 이 식은 n>1인 경우에 성립합니다 n=1경우 S₁은 a₁=S₁입니다 a₁=S₁입니다 다른 n에 대해서는 이 식을 쓰면 됩니다 이 식을 간단히하려면 분수 두 개를 더해 봅니다 이 분수들은 공통분모를 이용해 더할 수 있죠 그래서 앞 분수의 분모 분자에 (n+9)을 모두 곱하면 결과는 (n+1)(n+9) (n+1)(n+9)/(n+10)(n+9) 거기서 뒷 분수의 분모 분자에 (n+10)을 곱하면 n(n+10) n(n+10)/(n+9)(n+10) n(n+10)/(n+9)(n+10) 그러면 어떻게 되나요? 앞 분수 분자를 전개하면 n²+10n+9이고 뒷 분수 분자를 전개하면 n²+10n이죠 빨간색이요 n²+10n이고 우리는 이걸 뺄거에요 거의 다 풀었는데 an은 분모는 (n+9)(n+10)이고 분자는 파랑에서 빨강을 빼면 n²들은 서로 상쇄되죠 10n들 역시 상쇄되고 파란 9밖에 안 남죠 그래서 구했습니다 n>1일 때 an의 일반식이요