한 점에서의 미분 가능성: 그래프

다음은 함수 f(x)의 그래프입니다 점 (3,0) 에서 x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다 이 그래프를 그려봅시다 이 그래프를 그려봅시다 그리고 점 ( 0,-3 ) 에서 x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다 x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다 그리고 점 ( 6,3 ) 에서 x축과 수직인 기울기를 가지고 있습니다 그려보면 이렇게 말입니다 함수 f(x)가 미분이 가능하지 않은 모든 x값을 고릅시다 속기하겠습니다 f'(x)는 세 가지 경우일때 존재할 수 없습니다 첫 번째는 x축과 수직인 기울기를 가지고 있을 때입니다 x축과 수직인 기울기를 가지고 있을 때입니다 왜 x축과 수직인 기울기를 가질 때 도함수가 정의되지 않을까요? 도함수는 x에 대한 y의 변화율을 찾는 것이기에 y의 변화율을 찾는 것이기에 x축에 수직인 기울기를 가지면 x 증가량은 매우 작지만 y 변화량은 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하게 됩니다 이럴 경우에는 도함수가 존재하지 않습니다 어느 곳에서 x축과 수직인 기울기를 가지는 지 알려주었는데 x=3일 때이겠죠 x=3일 때이겠죠 x=3일 때 x축과 수직인 기울기를 가져 함수 f(x)는 x=3에서 미분이 가능하지 않습니다 x축과 평행한 기울기를 가질 때는 어떨까요? x축과 평행한 기울기를 가질 때는 아무 문제 없습니다 x축과 평행한 기울기를 가지게 되면 미분계수는 0일 때니까요 즉 f'(6)=0이고 f'(0)=0입니다 다른 경우는 어떤 것이 있을까요? 도함수가 정의되지 않는 다른 경우는 그래프가 불연속할 때 입니다 그래프가 불연속할 때 입니다 x =－3 일때 그래프가 불연속이죠? x= -3일 때 그래프가 불연속합니다 주어진 그래프에 따르면 위 세 곳에서 함수 f(x)가 미분가능하지 않습니다 그래프의 왼쪽 이나 오른쪽에서 무엇이 일어나는지 모릅니다 이 곳들은 흥미로운 경우일 것 같은데 보기에는 주어져 있지 않습니다 앞서 말했듯이, x=0일 때 미분계수가 0이므로 이는 도함수가 정의되고 미분이 가능한 것입니다 x=6에서도 동일합니다 평평한 기울기를 가지고 있으며, 그 부분에서도 도함수가 정의됩니다 다른 문제를 풀어볼까요? 사실, 세 가지 경우 중 하나를 언급하지 않았는데 이 문제에서 이걸 다루고 있지 않네요 세 번째 경우를 뾰족점이라고 부르겠습니다 뾰족점 이건 수학적으로 엄밀한 정의는 아니지만 쉽게 인지할 수 있습니다 뾰족점이란 건 이런 것입니다 이런, 그렇게 뾰족해보이지 않습니다 또는 이렇게도 가능합니다 이렇게 부드럽지 않고 뾰족하게 굽어진 이유는 뾰족하게 굽어진 이유는 이 부분에서 미분이 가능하지 않은 이유는 양쪽 방향에서 이 점에 가까워 질 때 다른 기울기를 가지게 되기 때문입니다 이쪽에서는 x가 증가할 때 y도 증가하는 양의 기울기를 가지는 반면 이쪽에서는 음의 기울기를 가집니다 이 점에 가까워질 때 기울기의 극한값을 구하려 한다면 우극한과 좌극한이 달라 존재하지 않을 것입니다 여기서는 뾰족점이 보이지 않네요 여기서는 뾰족점이 보이지 않네요 하나 더 해보겠습니다 이거는 뾰족점들이 있습니다 재밌겠네요 함수 f(x)의 그래프가 왼쪽에 주어져 있습니다 점근선은 직선 x =－3와 y = 0 입니다 점근선은 직선 x =－3와 y = 0 입니다 점근선은 직선 x =－3와 y = 0 입니다 이 곡선의 끝에서 x가 음의 무한대로 발산하고 y는 0에 가까워지는 것으로 보입니다 또 다른 점근선인 직선 y=4도 있습니다 x가 양의 무한대로 발산할 때 y는 4에 가까워집니다 함수 f(x)가 미분가능하지 않은 모든 x값을 구하세요 먼저 x축과 수직인 기울기를 생각해 볼 수 있습니다 x축과 수직인 기울기는 없는 것 같습니다 그러면 불연속인 지점을 찾아보겠습니다 이 점근선에서는 분명히 불연속이네요 이 점근선에서는 분명히 불연속이네요 x=－3에서 불연속이고 x=1에서도 불연속입니다 미분이 가능하지 않은 마지막 경우는 뾰족점이 있을 때인데 이 그래프에서 여기 뾰족점이 있습니다 기울기의 좌극한값은 기울기의 좌극한값은 3/2 같네요 반면에 우극한값은 음수가 됩니다 따라서 양쪽에서 가까워질 때 기울기의 극한값을 구하려 하면 도함수를 구할 때처럼 말이죠 도함수를 구할 때처럼 말이죠 양쪽에서 값이 달라 정의되지 않을 것입니다 함수 f(x)는 뾰족점에서 미분이 가능하지 않습니다 이거는 다음 시간에 할 내용입니다만, 도함수를 그래프로 나타내려 한다면 이 점에서 도함수는 불연속일 것입니다 이 점에서 도함수는 불연속일 것입니다 따라서 x=3에서도 해당됩니다 x=0에서는 어떻게 되는지 알아보겠습니다 x=0에서는 아무 문제가 없습니다 이 점에서의 기울기는 x축에 수직이지도 않고 함수 f(x)도 이 점에서 연속입니다 뾰족점이 있지도 않습니다 x=0에서는 아무 문제가 없습니다 커넥트 번역 봉사단 | 이나경