미분가능성과 연속성

이번 영상에서는 어떤 점에서의 미분 가능 여부에 대해 배울 것입니다 복잡하게 들리지만 사실 다음 질문과 같은 뜻입니다 함수가 해당 점에서 정의된 도함수를 가지고 있는가? 도함수의 정의에 대해 상기해 봅시다 다양한 방식으로 적어볼 수 있습니다 이 영상에서는 점 c에서의 도함수로 적어 보겠습니다 이것은 f'을 사용하는 라그랑주 표기법입니다 점 c에서의 함수 f의 도함수는 x가 z에 가까워질 때 다음 식의 극한값입니다 f(x) - f(c)/ x - c f(x) - f(c)/ x - c 이 식을 처음 보았다면 물론 전에도 본 적이 있지만 매우 이상해 보입니다 하지만 이 식은 사실 기울기의 계산식이며 이것이 함수값의 변화량 혹은 y의 변화량입니다 만약 y가 f(x)이고 이것이 x의 변화량이라면 말입니다 그리고 우리가 봐야 하는 것은 x가 c에 점점 가까워지고 x의 변화량이 0에 가까워지면서 기울기는 어떻게 되는지이죠 다른 영상에서도 이야기한 내용입니다 이제 이 영상에서 몇 가지 명제들을 보여줄 건데 그것들을 모두 엄격하게 증명하지는 않을 겁니다 다른 영상에서 그것들에 대한 증명에 초점을 맞출 것입니다 하지만 지금으로써는 직관적인 이해를 먼저 가져봅시다 첫 명제는 만약 f가 x가 c가 되는 점에서 미분이 가능하다면 x가 c가 되는 점에서 f는 연속된다는 것입니다 즉, 만약 함수가 미분이 가능하고 이 극한이 존재하며 x가 c인 점에서 이 도함수를 구할 수 있다면 그 함수는 x가 c인 점에서 연속된다는 것입니다 하지만 그 반대의 경우는 항상 성립하지는 않는데 그러한 예를 이따가 살펴보도록 하겠습니다 만약 함수가 연속된다면 함수는 미분이 가능합니다 이를 다르게 해석하면 함수가 연속되지 않으면 그 함수는 미분가능하지 않습니다 f가 x가 c인 점에서 연속되지 않으면 f는 해당 점에서 미분가능하지 않습니다 불연속 함수의 예를 몇 가지 살펴보고 이 극한값을 찾을 수 있을지에 대해 생각해 봅시다 첫 번째 예는 불연속성이 존재하는 경우입니다 함수는 c에서 정의되어 있고 이 값과 같은데 x가 c보다 커지면서 함수가 도약하여 여기 아래로 이동합니다 이 극한값을 구하려고 하면 어떻게 될까요? 기억해야 할 것은 이 식이 나타내는 것은 x가 어떤 임의의 값일 때 직선의 기울기라는 것입니다 만약 이 값이라고 해 보죠 이 점이 x와 f(x)에 해당하는 점이고 이 점이 c와 f(c)에 해당하는 점입니다 이것이 c와 f(c)에 해당하는 점입니다 이 점에서의 좌극한을 구하면 이 부분의 기울기를 구하는 것과 같습니다 x를 좀 더 가까이 가져간 후에 다시 기울기를 구해 봅시다 그리고 x를 좀 더 가까이 가져간 후 다시 기울기를 구해 봅시다 이 모든 경우에서 기울기는 0입니다 기울기는 0입니다 따라서 왼쪽에서 가까워질 때 도함수 혹은 이 극한이 0에 가까워지고 있습니다 x가 오른쪽에 있으면 어떨까요? x가 여기 있는 대신 x를 여기로 가져가 보면 어떨까요? x와 f(x)에 해당하는 이 점에서 f(x) - f(c) /x - c를 계산하면 그것이 이 선의 기울기일 것입니다 x를 더 가까이 움직여 여기로 가져간다면 이것이 선의 기울기가 될 것입니다 x를 좀 더 가까이 움직이면 이 식이 선의 기울기가 될 것입니다 따라서 x가 c를 향해 계속 가까워짐과 동시에 기울기가 음의 무한대를 향해 가까워지는 것을 알 수 있습니다 가장 중요한 것은 오른쪽과 왼쪽에서 서로 전혀 다른 값을 향해 가까워진다는 점입니다 이 식은 오른쪽 방향과 왼쪽 방향에서 전혀 다른 값을 향해 가까워지고 있습니다 이 경우에 여기에서의 극한은 존재하지 않습니다 즉 이 점에서 함수는 미분가능하지 않습니다 다시 말하지만 증명이 아닙니다 그저 함수가 연속되지 않을 때 적어도 이 경우에는 미분가능하지 않다는 직관적 이해를 주기 위함입니다 다른 경우를 살펴봅시다 없앨 수 있는 불연속성 혹은 점 불연속성이 있는 경우를 살펴봅시다 아까와 마찬가지로 왼쪽에서 가까워진다고 해 봅시다 이것이 x와 f(x)에 해당하는 점입니다 여기서 흥미로운 것은 이 식이 x와 f(x)에 해당하는 점과 c와 f(c)에 해당하는 점을 잇는 직선의 기울기의 식인데 참고로 이 점이 아닌 바로 이 점에서죠 없앨 수 있는 불연속성이 여기 있다는 것을 잊지 마세요 따라서 이 식은 이 직선의 기울기를 계산하는 식입니다 그런데 x가 c에 더욱 가까워지면 이 직선의 기울기를 계산하게 됩니다 x가 c에 더욱 가까워지면 이제 이 직선의 기울기를 계산하게 되죠 따라서 왼쪽 방향에서 x가 c에 가까워지면 이 식은 곧 음의 무한대를 향해 가까워지게 됩니다 오른쪽 방향에서 c보다 큰 값들로부터 가까워지면 이것이 x와 f(x)에 해당하는 점인데 그렇게 되면 양수인 기울기가 생기고 c에 더욱 가까워지면서 기울기는 양의 무한대를 향해 가까워집니다 어느 경우이던 유한한 값을 향해 가까워지지는 않습니다 한쪽 방향에서는 양의 무한대에 가까워지고 반대 방향에서는 음의 무한대에 가까웢비니다 이 식의 극한은 존재하지 않습니다 다시 강조하지만 엄격한 증명을 하는 것이 아닙니다 연속되지 않으면서 이 극한이 존재하는 함수를 찾아보려고 하는 것뿐입니다 정말 어려운 일입니다 이런 질문이 생길지도 모르겠네요 f가 c에서 정의되지 않는 경우는 어떨까요 그러한 경우에는 함수가 연속되지 않는데 말이죠 f가 c에서 정의되지 않으면 식의 이 부분은 말이 되지 않을 겁니다 따라서 당연히 미분가능하지 않겠죠 이제 다른 질문을 해 보죠 방금 연속되지 않는 함수는 미분가능하지 않다는 명제를 확인했습니다 그러면 함수가 연속된다면 무조건 미분가능하다는 명제도 성립할까요? 사실 정말 많은 수의 함수들이 심지어는 무한한 개수의 함수들이 c에서 연속되지만 미분가능하지 않습니다 예를 들어 이것이 절댓값 함수라고 합시다 꼭 절댓값 함수일 필요는 없지만 이 식이 y = |x - c|라고 합시다 이 식이 y = |x - c|라고 합시다 왜 이 함수는 c에서 미분가능하지 않을까요? 자, 무슨 일이 일어나는지 생각해 봅시다 이 식에 대해 생각해 보세요 기억하세요, 이 식은 x와 f(x)에 해당하는 점과 c와 f(c)에 해당하는 점 사이의 기울기를 계산하는 식입니다 만약 이 점에 x와 f(x)에 해당하는 점이고 이를 계산해 볼 건데 만약 x가 왼쪽으로부터 c에 가까워지면 이 직선에 해당합니다 그리고 x가 점점 더 가까워지면 이 직선에 해당하는데 두 직선은 같은 기울기를 가집니다 이 경우에는 음수의 기울기를 가지게 되겠죠 따라서 x가 왼쪽 방향에서 c에 가까워지면 이 식은 -1이 됩니다 하지만 x가 오른쪽 방향에서 c에 가까워지면 이 식은 1이 됩니다 이 점들을 연결하는 직선의 기울기는 1입니다 이 점들을 연결하는 직선의 기울기도 1입니다 따라서 이 식의 극한값 혹은 이 식이 가지는 값은 x가 c에 왼쪽과 오른쪽 방향에서 가까워질 때 서로 다릅니다 왼쪽 방향에서는 -1에 가까워지며 지속적으로 -1의 값입니다 오른쪽 방향에서는 값이 1이며 지속적으로 1에 가까워집니다 따라서 왼쪽과 오른쪽 방향에서 서로 다른 값을 향해 가까워진다면 극한값은 존재하지 않습니다 따라서 이 경우는 미분가능하지 않습니다 직관적으로 생각해 봐도 도함수를 접선의 기울기로 생각해 보면 이 점에서는 무한한 개수의 다른 접선들을 그릴 수 있습니다 이것도 하나의 관점입니다 만약 이것이 접선이라고 한다면 이런 접선 또한 존재할 수 있지 않을까요? 이 접선 역시 c와 0에 해당하는 점만을 지납니다 이와 같이 접선들을 계속 그어나갈 수 있습니다 이것 역시 접선이 될 수 있죠? 이렇게 계속할 수 있습니다 여기에서 기억해야 할 것은 추후 다른 영상에서 f가 c에서 미분가능하다면 c에서 연속된다는 명제를 증명할 건데 이 명제는 또한 함수가 c에서 연속되지 않으면 c에서 미분가능하지 않다고 해석될 수도 있습니다 이야기한 두 예제가 그에 대한 직관적인 이해를 주었기를 바랍니다 하지만 어떤 함수가 연속된다고 해서 무조건 미분가능한 것은 아닙니다 물론 미분가능한 경우가 종종 있지만 무조건 미분가능한 것은 아니고 이 절댓값 함수가 바로 c에서 연속되는 함수이지만 c에서 미분가능하지 않은 함수의 좋은 예입니다