유리함수 그래프: 함수를 0으로 만드는 값

f(x)를 (2x^2-18)/g(x)라 해봅시다 g(x)는 다항식입니다 이때, f(x)의 그래프로 가능한 것은 무엇입니까? 여기 4개의 보기가 있습니다 동영상을 멈추고 한 번 생각해보세요 여기 f(x)를 보고 이 중 어떤 그래프가 가능한 그래프인지 생각해보세요 이제 같이 풀어봅시다 f(x)에 관해 많은 정보가 있지는 않습니다 이 유리식에서 분모에 대해서는 아무런 정보가 없습니다 분자에 대한 정보는 있습니다 분자를 인수분해 하는 것이 좋습니다 어떤 x 값에서 함수의 특징이 나타나는지 봅시다 어떤 x 값에서 분자가 0이 될까요? 분자를 인수분해 해보면, f(x)를 다시 쓰면, 분자에서 2를 묶을 수 있습니다 분자는 2(x^2-9)가 됩니다 분모는 그대로 g(x)입니다 분모에 대해서는 아무것도 모릅니다 다항식이라는 것만 압니다 이제 분자에는 x^2-9가 있습니다 이것은 제곱의 차이므로 인수분해 할 수 있습니다 x+3 곱하기 x-3으로 인수분해 됩니다 제곱차 인수분해는 여러번 했습니다 만약 이것이 생소하다면, 제곱차의 인수분해에 관한 동영상을 보길 권장합니다 x^2-9는 x^2-3^2입니다 그래서 (x+3)(x-3)입니다 이 모든 것을 g(x)로 나눠줍니다 가장 먼저 알아야하는 것은 언제 분자가 0이 되는지 입니다 x=-3 이거나 x=3이면 됩니다 만약 x=-3이면, x+3이 0입니다 만약 x=3이면, x-3이 0입니다 아마 x=-3일때 f(x)는 0일 것이라 생각할 수 있습니다 아마 f(-3)이 0이고 f(3)이 0일 것입니다 이 값들은 분자가 0이 되게 합니다 4개의 보기를 보면, 보기 A는 +3에서 0이지만 -3에서는 0이 아닙니다 x=-3에서 수직점근선을 가집니다 그래서 약간 헷갈릴 수 있습니다 보기 B는 -3에서 0이지만 -3에서는 신기한 성질이 아무것도 없습니다 심지어 수직점근선도 없습니다 다시봐도, 약간 당혹스럽습니다 보기 C는 +3에서 없앨 수 있는 불연속성을 갖고 -2에서 수직점근선을 가집니다 다시 봐도, -3에서는 신기한 성질이 없습니다 약간 당혹스럽습니다 보기 D는 +6과 -6에서 0입니다 x=+3, x=-3 두 곳에서 모두 0인 보기는 없습니다 어떻게 된 일일까요? 우리가 알아야 할 것은 분자가 0이 된다고 함숫값도 무조건 0이 된다는 것은 아니라는 것이다 어떻게 가능한 일일까요? 분모도 0이되면 가능하다 가능한 f(x)를 써봅시다 우리는 g(x)가 다항식임을 압니다 f(x)의 분자는 알다시피 2(x+3)(x-3)입니다 임의로 g(x)가 x+1이라 해봅시다 분자가 0이되는 어떠한 값도 분모가 0이 되게 하지 않습니다 이 경우에서는 x=+3일 때와 x=-3일 때 모두 0이 됩니다 f(x)가 0이 되는 곳이 두 곳 입니다 다른 경우를 생각해봅시다 f(x)의 분자는 알다시피 2(x+3)(x-3)입니다 x=+3 또는 x=-3중에 하나의 값이 분모가 0이 되게 한다고 해봅시다 분모를 x+3 곱하기 x+1이라 해봅시다 이제 x+3은 분모와 분자에 둘다 있습니다 분자의 x+3과 분모의 x+3은 약분됩니다 여기서 x=+3은 없앨 수 있는 불연속성입니다 x=+3에서 0이고 x=-3에서 없앨 수 있는 불연속성을 가집니다 분자가 0이 되는 값은 함숫값이 0이 되게 하거나 없앨 수 있는 불연속성을 나타냅니다 이 예시에서는 -3에서 없앨 수 있는 불연속성을 가지지만 다른 값에서 가질수도 있고 또는 두 값에서 모두 가질 수도 있습니다 만약 f(x)가 (x+3)(x-3)분의 (x+3)(x-3)였다면, x=+3, -3 두 곳 모두에서 없앨 수 있는 불연속성을 가집니다 더 나아가 봅시다 f(x)의 분자가 2(x+3) 곱하기(x-3) 분모가 (x+3)^2 곱하기 x+1이라 해봅시다 무슨 일이 생길까요? 분자와 분모를 x+3로 나누어도, 분모에 아직 하나의 x+3이 남아있습니다 x+3 하나를 약분해도 x+3하나가 남습니다 이 경우에는 수직점근선을 갖습니다 x=3일때 0이고 수직점근선을 갖습니다 x=-3에서 수직점근선을 가집니다 우리가 본 많은 예시들은 분자가 0이되는 값이 무조건 함숫값이 0이 되게 하지 않는다는 것을 보여줍니다 0이 될 수도 있고 없앨 수 있는 불연속성이 될 수도 있고 수직점근선이 될 수도 있습니다 그렇지만 이는 모두 x=+3 또는 x=-3에서 일어납니다 이를 알고 보기를 다시 보면 보기 A는 x=+3에서 0이고 x=-3에서 수직점근선을 가집니다 이는 여기서 설명한 예시와 잘 일치합니다 보기 A는 가능한 그래프처럼 보입니다 보기 B는 x=3에서 0이지만 x=-2에서 수직점근선을 가지며 x=-3에서는 아무것도 특징이 없습니다 보기 B는 답에서 제외됩니다 보기 C를 보면, x=+3에서 없앨 수 있는 불연속성을 가지고 이는 가능합니다 분자가 0이 되게하는 식이 만약 분모에 똑같이 있다면 없앨 수 있는 불연속성을 가집니다 그러나 수직점근선은 x=-3이 아닙니다 x=-2입니다 따라서 보기 C도 답에서 제외됩니다 x=-3에서 아무 특징이 없습니다 보기 D는 2곳에서 0이 되지만 x=3 또는 x=-3이 아닙니다 x=6 또는 x=-6에서 0입니다 이도 당연히 답에서 제외됩니다 따라서 보기 A가 답입니다