유리함수 그래프 그리기 3

이번 강의에서는, 유리함수를 그래프로 그려 봅시다 유리함수는 분자와 분모로 표현되는 함수입니다 유리함수는 분자에 다항식을 가집니다 예를 들어, 분자에 x^2 이 있고 분모에 x^2-16 인 다항식이 있다고 합시다 이 함수의 그래프는 몇 개의 점을 구해서 그 점들을 연결하여 구할 수 있죠 이것이 계산기가 그래프를 그릴 때 사용하는 방법입니다 우리가 하고싶은 것은 몇개의 점들을 찍어서 그래프를 그리기보다는 이 그래프의 기본 구조를 이해하는 것입니다 이 것을 이해하기 위해서, x가 엄청 커질 때 혹은 x가 매우 작아져 음의 방향으로 갈 때 어떠한 일이 일어나는지 봅시다 x의 크기가 매우 커질때 엄청 큰 수에 접근할 때 무한대에 다가갈때 어떤 일이 일어나는지 봅시다 x의 크기가 무한대에 다가갈때 다시 말해서 x가 양의 방향으로 멀어질 때 혹은 x가 음의 방향으로 멀어질 때 함수의 값은 어떻게 될까요? 계산기를 꺼내봅시다 그래프를 그릴 때에는 사용하지 않고요 몇 가지 값만 구해봅시다 x가 10일 때 어떻게 되나요? x가 -10일 때에도 같은 경우인데요 -10을 여기에 대입하게 되면 10과 같이 제곱해서 100이 되죠 여기에도 똑같이 -10을 제곱하면 10과 같은 값이 나옵니다 따라서 엄청 큰 양의 수나 엄청 작은 양의 수나 같은 값을 가집니다 양의 무한대로 가거나 음의 무한대로 가거나 제곱하기 때문에 같은 값을 가집니다 그래도 몇 가지 수를 대입해 봅시다 만약 10^2을 10^2-16으로 나누면 1.19 입니다 x가 아주 조금 더 커지면 어떨까요? x가 10일 때와 같을 것입니다 x가 100일 때에는 어떨까요? 100^2을 100^2-16으로 나누면 1에 더욱 가까워 집니다 x가 10일 때, y는 1.19 였습니다 x가 100일 때, 100^2 나누기 100^2-16 y는 1.0016 입니다 1000으로 한번 더 해보죠 1000^2을 1000^2-16으로 나누면 1에 더더욱 가까워 집니다 x가 커지면 커질 수록 y는 1에 훨씬 가까워 집니다 -10일 때도 마찬가지입니다 (-10)^2을 (-10)^2-16으로 나누면 같은 값을 가지기 때문이죠 음수는 제곱하면 양수가 되기 때문입니다 10^2과 같은 값을 가지고 같은 값으로 나누어 주게 됩니다 따라서 x가 엄청 커지든지 작아지든지 y는 1에 다가가게 됩니다 백만을 가지고 계산해 보셔도 좋아요 그러면 1에 훨씬 가까운 수를 얻게 되겠죠 그래서 x가 무한대에 다가가면 x의 절댓값(원점에서의 거리)이 무한대에 다가가면 y 는 1에 접근합니다 다르게 생각하면, 이 함수의 그래프는 y=1 그래프에 다가간다고 볼 수 있습니다 y=1 그래프를 그려보겠습니다 제가 점선으로 그린 이유는 이것은 우리가 원하는 함수의 그래프가 아니라 함수가 접근하는 선이기 때문입니다 이것이 y=1 그래프이고요 이제, 함수의 그래프는 이 선에 가까워지지만 닿을 수는 없다는 걸 알게 되었습니다 함수가 점점 더 이 선에 가까워지고 y가 1에 가까워지지만 1이 될 수는 없습니다 매우 가까워진다고 해도 y 값이 1에 도달할 수 없습니다 이 선은 그래프가 다가간다고 해서 점근선이라고 부릅니다 실제로 함수의 그래프를 그려보면 더 분명해집니다 여기에 그려봅시다 이 선이 수평선이기 때문에 수평 점근선이라 부릅니다 이것이 함수의 그래프가 양의 방향으로 혹은 음의 방향으로 멀어질 때 다가가는 선입니다 이 함수에 대해 흥미로운 사실들을 더 알아봅시다 제곱의 차를 보면 어떤 것이 떠오를 것입니다 이것은 x^2-4^2 입니다 따라서 (x+4)*(x-4) 라고 나타낼 수 있습니다 x가 -4 또는 4에 접근할 때 무슨 일이 일어나는지 봅시다 우선, 이 수들을 대입해봅시다 x가 4일 때, 어떻게 될까요? 대입을 해 보면 0이 나옵니다 0으로 나누어야 합니다 하지만 0으로 나눌 수는 없습니다 비슷하게, x가 -4라면 0으로 나누어야 합니다 즉, 분모가 0이 됩니다 계산할 수 없지요 이 함수는 x가 4 또는 -4일 때 정의할 수 없다고 말할 수 있습니다 0으로 나눌 수 없기 때문에 둘 중 하나의 값도 가질 수 없습니다 이 값들에 가까워질 때 어떻게 될까요? x가 -4에 가까워지면 어떨까요? 한번 해 봅시다 x가 -4에 가까워지면 어떨까요? 음의 방향에서 가까워지게 해봅시다 계산기를 사용해보죠 음의 방향에서 가까워집니다 -4.1을 대입해봅시다 (-4.1)^2을 (-4.1)^2-16으로 나누면 무슨 값을 가지나요? 20.75 입니다 어쨋든 이 수를 얻었네요 -4에 더욱 가까워지게 해봅시다 해 보겠습니다 -4에 더 가까운 수를 넣어봅시다 -4.1 대신에 -4.01을 넣어봅시다 -4.01을 넣어 볼게요 그리고 여기도 -4.01을 넣어보죠 어떻게 되나 봅시다 200 입니다 점점 더 큰 수를 가집니다 -4.001을 넣어봅시다 해 보겠습니다 아, 제가 원한 게 아닌데요 네, 됐습니다 해볼까요? 이게 아닌데요 봅시다 -4.01 대신에 -4.001을 넣으면 여기도 -4.001을 넣으면 어떤 값을 얻을까요? 2000입니다 음의 방향에서 -4에 점점 가까워질수록 점점 더 큰 수에 다가간다는 것을 알 수 있습니다 -4.0000001을 대입해보시면 이것이 훨씬 작은 수를 가지게 되고, 이 값은 훨씬 더 큰 수를 가지겠죠 -4.001을 대입해 보시면, 20000이 나올 것입니다 그리고나서 여기에 0을 추가하면 가까워지면 가까워질수록 훨씬 큰 수를 얻게 됩니다 따라서 x가 -4에 접근할수록 y는 무한대에 가까워진다고 할 수 있습니다 점점 더 큰 값을 가지게 되는 것이죠 하지만 x가 4일 때 값은 얻을 수 없습니다 정의되지 않기 때문입니다 분모를 0으로 만들기 때문이죠 우리는 여기 x에 -4를 대입하여 값을 얻을 수 없습니다 x가 1,2,3,4,일 때 x가 -4일 때 값은 얻을 수 없습니다 x가 -4일 때 점선을 그려봅시다 여기네요 x가 -4일 때 입니다 값을 가질 수는 없지만, -4.1에서 -4.01을 넣은 것처럼 음의방향에서 가까워질수록 점점 더 큰 값을 가지게 됩니다 x값이 증가할수록 왼편에서 가까워진다는 것, y가 1에 가까워진다는 것을 알 수 있습니다 이제 여러분은 이 그래프가 대강 어떻게 그려지는지 알 수 있습니다 그래프의 이 부분은 이런식으로 보여지겠죠 x가 매우 작은 음수이면, x가 음의방향에서 -4에 가까워질수록 1값에 가까워집니다 x가 음의방향에서 -4에 가까워질수록 무한대에 가까워집니다 점점 더 가까워질수록 점점 더 큰 값을 얻습니다 쉽습니다 x가 -4일 때처럼, x가 4일 때는 정의되지 않은 점입니다 그래프로 그려보겠습니다 1,2,3,4 여기입니다 바로 여기입니다 x는 4입니다 x가 4로 다가갈 때, 양의방향에서 다가간다고 하면 어떻게 될까요? x가 양의방향에서 4로 접근할 때 어떻게 될까요? x가 4.01일 때 해봅시다 아니면 4.001일 때, 혹은 4.0001일 때 넣어봅시다 우리는 점점 더 x가 4에 가까워지게 만들고 있습니다 이 값들은 음의 경우가 아니라는 것을 제외하고는 아까 계산기로 계산한 값과 똑같을 거예요 그렇죠? 그리고 아까 봤지만, 이 함수는 제곱항만을 가지기 때문에 x값이 음수이든 양수이든 같은 값을 가집니다 그래프는 대칭입니다 x가 -5일 때, 나오는 값은 x가 5일 때와 같습니다 x가 -10일 때, x가 10일 때와 같은 값을 가지죠 같은 방식으로 계속 됩니다 계산기를 사용해보셔도 되고요 이 값들을 넣어보면, 4에 점점 더 가까운 값을 넣을수록 더욱 더 큰 값에 다가가게 됩니다 여기 계산해서 나온 큰 값처럼 말이죠 그래프를 보면, 4에 가까이 다가갈수록 더욱 더 큰 값에 다가가게 됩니다 그리고 여기, x값이 커질수록 여기 수평 점근선에, y 값이 1에 가까워지게 됩니다 이 선을 수평 점근선이라 부르는 것처럼, 이 수직선을 생각해보면 x=-4, x=4 이것들을 우리는 수직 점근선이라고 부릅니다 이 점근선들은 함수의 그래프가 다가가는 선이지면, 절대 닿을 수는 없습니다 이렇게 되고요 이제 그래프의 이 부분은 어떻게 될지 생각해봅시다 두 가지 방법을 생각해봅시다 x가 음의 방향에서 4에 다가갈 때, 어떻게 될까요? 음의 방향에서 시작해봅시다 3.9^2을 3.9^2-16으로 나누면 어떻게 될까요? -19.25입니다 3.99를 넣어보면 어떨까요? 여기에 9를 하나 더 추가할게요 그러니까 우리는 4의 왼편에서 4로 점점 가까이 다가가고 있는 것입니다 여기에 9를 하나 더 넣으면 더 작은 음수가 됩니다 한 번만 더 해봅시다 훨신 작은 음수가 됩니다 3.999를 넣어봅시다 4에 더 가까운 수를 넣어봅시다 훨씬 더 작은 음수가 됩니다 -3.9 혹은 -3.99 일 때에도 같은 방식이 적용됩니다 음수나 양수나 제곱하게 되면 같은 값을 가지기 때문입니다 만약 -1을 제곱하면 양수 1을 얻습니다 3.9, 3.99 이렇게 4에 다가갈수록 우리는 훨씬 더 작은 음수를 얻게 됩니다 결국 음의 무한대에 다가가게 됩니다 그래프를 그려보겠습니다 이 방향으로부터 다가가게 되면, 점점 더 작아지고, 점근선에는 닿을 수 없습니다 이렇게 되겠죠 왼쪽에서 다가간다면, 더욱더 작은 수를 가지게 됩니다 오른쪽에서 -4에 다가간다고 하면 같은 일이 일어나겠죠 -3.9, -3.99, -3.999 일 때, 값은 감소합니다 이런 식으로 되겠습니다 그래프가 대강 어떤 식인지를 알게 됬으니, 이제 몇 개의 점을 선택해서 좌표로 나타내봅시다 가장 쉬운 것은, x가 0일 때 어떻게 될까요? 0^2을 0^2-16으로 나누어 보면 0을 -16으로 나누는 것이므로 x가 0일 때, 0입니다 (0,0)은 이 그래프 위에 있게 되겠죠 다른 몇 개의 점들도 원한다면 나타낼 수 있지만, 일반적인 형태는 이렇게 됩니다 곡선이 어떻게 그려지는지 정확하게 알기 위해 더 해볼 수도 있지만, 일반적인 모양은 이렇습니다 많은 값들을 계산기로 계산해 보았습니다 왜 이런 식으로 감소하는지 여러분에게 보여주기 위해 저는 계산기를 쓴 것이죠 생각을 해보면, 이해가 됩니다 4에 점점 더 가까이 다가간다고 합시다 4에 가까워질수록, 훨씬 더 작은 수가 됩니다 x와 4의 차이기 때문이죠 따라서 이것은 훨씬 더욱더 작은 수가 될 것입니다 1을 나눈다고 생각해 볼 수 있습니다 이것은 (x^2/x+4)*(1/x-4) 라고 나타낼 수 있습니다 이것이 점점 작아진다면, 이 전체가 매우 큰 수가 될 것입니다 생각해보면, 매우 큰 수를 대입하면, 음수든 양수든 상관없이, 다시 말해 매우 작은 크기의 음수나 매우 작은 양수나 상관없이, 부호는 반대일 것입니다 즉, 음의 방향으로 크기가 큰 수를 얻을 것입니다 x와 4의 차가 음수이기 때문입니다 3.9-4는 0.1입니다 역으로 뒤집으면, 10입니다 이 부분은 음수가 됩니다 역으로 뒤집게되면 엄청 큰 음의 수가 됩니다 여러분이 이러한 직관을 가지길 원합니다 이러한 유형의 그래프를 그리는 일반적인 방법에서 첫 번째로 해야 할 것은 수평 점근선을 구하는 것입니다 x의 크기가 매우 클 때, 어떻게 될지 알아야 합니다 즉 매우 큰 양의 값이나 매우 큰 음의 값을 가질 때 말입니다 원한다면 계산기를 사용하실 수 있습니다 백만이나 십억의 값을 대입하시면, 계산기가 답을 구해 줄 것입니다 생각해보면, x가 엄청 크면, 여기있는 이 항들이 훨씬 더 증가합니다 이것은 상수항이고요 이 항은 신경쓰지 않아도 됩니다 이것이 백만이라면 16은 신경 쓸 필요도 없겠죠? x가 매우 커진다면, y는 대략 x^2 나누기 x^2 일 것입니다 이 두 항들이 우세하게 작용합니다 16은 더 이상 생각하지 않아도 됩니다 물론, 이것은 1이므로, 매우 큰 값을 넣으면 1이 되는 것을 알 수 있습니다 이 문제처럼, 분자와 분모가 같은 계수 혹은 같은 차수를 가진다면, 이 항들의 계수를 봐야 할 것입니다. 이 상황에서, 계수는 1과 1입니다 그래서 수평 점근선은 1을 1로 나눈, y=1 이 되는 것이죠 만약 (2x)^2 나누기 x^2-16 이었다면, 수평 점근선은 y=2 일 것입니다 그 점근선에 다가가게 될 것이고요 계수를 나누어 나온 값이 -2였다면, 수평 점근선은 y=-2 일 것입니다 이것이 분모와 분자의 차수가 같을 때 수평 점근선을 구하는 방법입니다 분모가 더 큰 차수를 가진다면, 분모는 분자보다 훨씬 빨리 커질 것이고, 점근선은 0이 될 것입니다 나중에 그런 예시를 보여드리겠습니다 분자가 분모보다 높은 차수를 가진다면, 분모보다 훨씬 빨리 증가할 것이고, 점근선을 가지지 않을 것입니다 계속 증가하거나 계속 감소할 것입니다 실제로 우리가 봐왔던 모든 다항식이 이러한 경우에 속합니다 모든 다항식은 1로 나누었다고 볼 수 있습니다 어떤 경우든지 수평 점근선이 없습니다 수직 점근선은 분모를 인수분해 하고 분모가 0이 되는 점이 어딘지를 알면 구할 수 있습니다 이러한 점들은 함수가 정의되지 않는 점입니다 나중에 보여드리겠지만, 수직 점근선이 없는 특별한 경우가 있습니다 특별한 경우의 예를 들자면, 음, 지금은 알려드리지 않을게요 나중에 다른 강의에서 보여드릴게요 일반적으로, 아래 분모 항을 인수분해하면 그리고 그것을 지울만한 항이 분자에 없다면 수직 점근선이 있다고 볼 수 있습니다 만약 제가 다른 x-4를 여기에 넣는다면, 즉 분자가 x^2*(x-4)였다면, 이것이 지워지고 간단히 정리해서 이렇게 됩니다 식은 여전히 x가 4일 때 정의되지 않고요 x가 4이면 분모가 0이되기 때문이죠 x-4 항이 분자의 x-4 항과 지워지기 때문에, 수직 점근선은 가지지 않게 됩니다 이것도 나중에 살펴볼거에요 하지만 이 식은 그렇지 않습니다 수직 점근선을 구하는 일반적인 방법은 분모를 인수분해하고, 분모가 0이 되는 점을 찾아서 분자의 어떤 항과도 지워지지 않는다면 그것이 수직 점근선이 되는 것입니다 그리고나서 그래프의 형태를 구하기 위해 점근선을 그리고 몇 개의 점들을 나타냅니다 몇 개만 해보시면 됩니다 실제로 x값에 대입하여 y 값을 구할 수 있습니다 답이 맞는지 검증하기 위해서 우리의 유리함수를 그래프로 나타냅시다 계산기를 키고, 그래프를 나타내봅시다 y=x^2/(x^2-16) 이라고 했습니다 자 한번 봅시다 그래프를 그려보고 싶은데요 잘 못하겠네요 해 보겠습니다 자, x의 최소값은 -10이라고 정합시다 x의 최대값을 10이라 합시다 x의 눈금은 1이고요, y의 최소값은 -10입니다 y의 최대값은 10으로 할게요 y의 눈금은 1입니다 그래프로 나타내봅시다 나타내보겠습니다 이걸 보세요 우리가 그린 것과 같습니다 여기 점근선이 있고, x가 매우 커질 때, x가 매우 작아질 때 y는 1이됩니다 수직 점근선도 있습니다 이렇게 그려진 이유는 점들이 연결되었기 때문이에요 여기에 점근선은 나타나있지만, 실제로 점근선은 그래프에 포함되지 않습니다 0에서 4로 다가갈때, 엄청 감소하는 것을 볼수 있습니다 0에서 -4로 다가갈때, 매우 작아집니다 이 쪽에서 4에 다가가게 되면 이 항이 음수가 되기 때문입니다 이쪽에서 -4에 다가간다면, 여기 이 항이 양수가 되고, 이 항은 음수가 됩니다 음수와 양수를 곱하면 음수가 되겠죠 두 경우 다 음의 무한대로 다가갑니다 x가 무한대로 가면, 점금선은 멀어지겠죠 이런 재미를 발견하시길 바랍니다