유리함수 그래프: (이전 예제)

여기 세 개의 그래프가 있습니다 함수 f의 그래프는 심홍색으로 함수 g의 그래프는 초록색으로 함수 h의 그래프는 보라색 점선으로 그려져 있습니다 그리고 세 개의 식들이 주어졌습니다 이 식들은 함수 f, g, h의 정의입니다 이번 영상에서는 함수의 식과 그 그래프를 짝지어 보겠습니다 잠시 영상을 멈추고 제가 하기 전에 먼저 이 문제를 풀어 보세요 이 문제에는 몇 가지 접근 방법이 있습니다 이 식의 그래프가 어떻게 생겼을지 생각해 본 다음 어느 그래프가 예상에 일치하는지 찾아도 되고 아니면 그래프를 보고 수직 점근선과 수평 점근선을 찾은 다음 이 중에서 어떤 식이 그런 점근선을 가지는지 찾아도 됩니다 두 번째 방법으로 해 봅시다 그래프를 봅시다 그래프로 시작하는 게 좀 더 시각적으로 편하니까요 f부터 봅시다 f는 x=5에서 수직 점근선을 가집니다 아, x=-5네요 수직 점근선은 x=-5입니다 이 중에서 x=-5에서 수직 점근선을 가지는 것은 무엇인가요? 수직 점근선을 가지기 위해서는 그 x좌표에서 정의되지 않아야 합니다 이게 첫 번째 조건이고 추가로 그냥 불연속점이 아니라 수직 점근선이라는 것도 보여야 합니다 점 불연속이 아니라는 것을 말입니다 생각해 봅시다 첫 번째 식은 x=-5에서 정의됩니다 정의되지 않으려면 분모가 0이 되어야 하는데 -5 빼기 5는 -10입니다 그래서 이 식은 x=-5에서 정의되고 함수 f가 아닙니다 이 식 역시 x=-5에서 정의됩니다 분모가 0이 되지 않기 때문에 역시 함수 f가 아닙니다 이 식은 x=-5에서 분모가 0이 됩니다 그래서 이 식은 f가 될 가능성이 있습니다 이제 그래프의 다른 부분과도 일치하는지 봅시다 수평 점근선을 확인해 봅시다 그래프를 보면 수평 점근선은 x가 커질수록 f(x)는 1에 가까워집니다 f(x)는 1에 다가갑니다 이 식도 그런지 확인해 봅시다 x가 커질수록 x가 무한히 커지면 -2와 +5의 역할은 작아집니다 x가 무한히 커지면 이 식은 x/x로 근사할 수 있습니다 최고차항만 남으니까요 이 식은 실제로 1에 가까워집니다 x가 아주 커지면 -2와, 그러니까 분자에서 2를 빼는 것과 분모에 5를 더하는 것의 영향은 점점 작아집니다 그래서 이 식은 1에 가까워집니다 이 조건도 만족하네요 그러면 다른 조건들도 만족할까요? 함숫값이 0이 되는 점은 어디인가요? 분자가 0이 되려면 x=2가 되면 됩니다 역시 여기 그래프와 일치합니다 이 식이 f(x)가 확실한 것 같습니다 이제 g(x)를 봅시다 g(x)는 여기서 증가하는데 사실 h(x)와 g(x) 모두 x=5에서 수직 점근선을 가집니다 수직 점근선만 가지고는 g와 h를 구분할 수 없습니다 아, 아까 제가 g와 f라고 얘기했나요? g와 h는 모두 x=5에서 수직 점근선을 가집니다 여기서도 그 사실을 확인할 수 있습니다 x=5에서 두 식 모두 정의되지 않습니다 x=5이면 두 분모 모두 0이 되니까요 그러면 수평 점근선은 어떤지 봅시다 g(x)는 y=-2에서 수평 점근선을 가집니다 y=-2입니다 x가 무한대나 음의 무한대로 발산하면 y는 -2에 가까워집니다 이 위의 식은 어떻게 되는지 봅시다 분자를 전개하면 (2x-12)/(x-5)가 됩니다 x가 아주 커지면 -12나 -5의 영향은 작아지고 그래서 아주 큰 x에 대해서 이 값은 대략 2x/x로 근사할 수 있고 확실하게 쓰겠습니다 x가 무한대로 발산할 때 2x/x는 2입니다 x가 무한으로 가면 2에 가까워집니다 g의 수평 점근선은 2가 아니라 -2입니다 h의 수평 점근선이 y=2에 있는 것 같습니다 그래서 이 위의 식은 h(x) 같습니다 확인해 봅시다 h(x)가 0이 되는 x 값은 얼마인가요? 분자가 0이 되려면 x=6입니다 실제로 그래프로 확인할 수 있습니다 사실 g도 x=6에서 0이라서 두 함수를 구분하는 데는 별로 도움이 안 됩니다 수평 점근선으로 구분해야 합니다 x가 아주 커지면 분자에서 12를 빼는 것과 분모에서 5를 빼는 것의 영향은 점점 작아지고 최고차항의 효과만 중요해집니다 그래서 이 값은 2x/x, 즉 2에 가까워집니다 h의 그래프에서 이 결과를 확인할 수 있습니다 이제 g를 봅시다 남은 것이 이것밖에 없으니 당연히 g일 것입니다 g(x)는 (12-2x)/(x-5)이고 그 수렴값은 최고차항을 보면 x가 무한대로 발산할 때 이 값은 -2x/x로 수렴합니다 이 값은 -2입니다 g의 수평 점근선은 실제로 -2입니다 x가 아주 커지면 함숫값은 -2에 다가가고 x가 아주 작아져도 역시 함숫값은 -2로 수렴합니다 -2 곱하기 -10억을 -10억으로 나눠도 그 값은 -2입니다 그러면 이 식이 g(x)가 됩니다