나머지 정리 예제

여기 y = P(x)의 그래프가 있습니다 여기 y = P(x)의 그래프가 있습니다 여기 y = P(x)의 그래프가 있습니다 P(x)를 (x + 3)으로 나누었을 때 나머지는 무엇일까요? P(x)를 (x + 3)으로 나누었을 때 나머지는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 정답은 정수여야 한다고 합니다 유추했겠지만 다항식의 나머지 정리가 필요합니다 이것이 말해주는 것은 P(x)를 (x + 3)으로 나누었을 때 나오는 나머지는 나머지를 k라 했을 때 k의 값은 다항식에 x + 3을 0으로 만드는 x값을 대입했을 때 그러니까 다항식을 x = -3에 대해 계산했을 때의 값입니다 여기서 조심해야 합니다 헷갈리는 경우가 있는데 +3을 보고 다항식을 +3에 대해 계산해 나머지를 구하는 경우가 있습니다 아닙니다 여기서 +3을 보았다면 다항식은 -3에 대해 계산해야 합니다 어쨋든 이것은 k와 같습니다 그러면 P(x)를 (x + 3)으로 나누었을 때의 나머지는 무엇일까요? P(-3)과 같을 것입니다 P(-3)은 -2입니다 P(-3)은 -2입니다 따라서 이 경우 나머지도 -2입니다 따라서 이 경우 나머지도 -2입니다 다른 예제를 풀어봅시다 여러 개를 더 풀어보죠 P(x)는 이것과 같고 k는 미지의 정수입니다 흥미롭네요 P(x)를 (x - 2)나누면 나머지가 1입니다 k의 값은 무엇일까요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 좋습니다 이 두 번째 문장 P(x)를 (x - 2)나누면 나머지가 1이라는 말은 P(-2)가 아니라 P(2)를 알려줍니다 이 식을 0으로 만드는 x값이죠 P(2) = 1입니다 그리고 이 위의 정보를 이용해 P(2)는 무엇일지 찾을 수 있습니다 2⁴ - 2ᐧ2³ + kᐧ2² - 11입니다 2⁴ - 2ᐧ2³ + kᐧ2² - 11입니다 2⁴ - 2ᐧ2³ + kᐧ2² - 11입니다 2⁴ - 2ᐧ2³ + kᐧ2² - 11입니다 이 모두가 P(2)인데 이는 1과 같습니다 2⁴는 16이고 2ᐧ2³은 2⁴과 같으니 -16입니다 거기에 4k -11을 더하면 1입니다 이 둘은 소거되고 방정식의 양변에 11을 더할 수 있습니다 그러면 4k = 11이 나옵니다 양변을 4로 나누면 k는 3입니다 다 했네요 다른 연습 문제를 풀어 봅시다 재미있으니 두 개 더 해보죠 이 문제는 P(x)가 다항식이고 P(x)를 여러 가지로 나누었을 때 나머지가 무엇인지 나와 있습니다 나머지가 무엇인지 나와 있습니다 P(x)의 다음 값을 찾으라고 하네요 P(-4)와 P(1)입니다 동영상을 멈추고 풀어보세요 좋습니다 P(-4)는 P(x)를 무엇으로 나누었을 때의 나머지와 같나요? P(x)를 무엇으로 나누었을 때의 나머지와 같나요? (x -4)라고 말하고 싶을 수도 있는데 이 문제는 의도적으로 그렇게 만들고 있습니다 이것은 P(x)를 (x + 4)로 나누었을 때의 나머지입니다 이것은 P(x)를 (x + 4)로 나누었을 때의 나머지입니다 여기에 나와 있죠 P(x)를 (x + 4)로 나누면 나머지가 3입니다 따라서 이것은 3입니다 비슷하게 P(1)은 P(x)를 (x + 1)이 아니라 (x -1)로 나누었을 때의 나머지입니다 P(x)를 (x -1)로 나누면 나머지는 0입니다 마지막 연습 문제를 봅시다 역시 P(x)는 다항식이고 P(x)의 값 몇 가지가 나와 있습니다 P(x)를 (x -3)으로 나누었을 때의 나머지는 무엇일까요? P(x)를 (x -3)으로 나누었을 때의 나머지는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 생각해 보세요 여러 번 했듯이 P(x)를 (x -3)으로 나누었을 때의 나머지는 P(-3)이 아니라 P(3)입니다 이 방정식을 0으로 만드는 x의 값이죠 P(3)은 5입니다 비슷하게 사실 비슷하지 않습니다 흥미롭네요 P(x)를 x로 나누었을 때의 나머지는 무엇일까요? 어떤 수를 말하는 것일까요? 어떤 수를 말하는 것일까요? 이것을 x로 나눈다고 하지 말고 다시 쓰면 이것을 x로 나눈다고 하지 말고 다시 쓰면 (x + 0)으로 나눈다고 하면 이해가 될 겁니다 (x - 0)도 가능하고요 (x - 0)도 가능하고요 이것은 +0이던 -0이던 상관없이 이것은 +0이던 -0이던 상관없이 P(0)입니다 그리고 P(0)은 -1이라고 나와 있죠 끝났습니다