다항식의 나머지 정리 증명

이제 다항식의 나머지 정리를 증명해 봅시다 증명을 좀 더 쉽게 이해할 수 있도록 제일 처음 다항식의 나머지 정리를 소개했던 영상에서 본 예제로 시작하겠습니다 그 영상에서 3x^2-4x+7을 x-1로 나누었을 때 몫은 3x-1이고 나머지는 6이라는 것을 확인했었습니다 또 다항식의 나눗셈을 직접 계산할 때 나눗셈이 완결되었다는 것을 어떻게 확인했었나요? 제수, 즉 나누는 수보다 이 식의 차수가 낮으면 나눗셈이 끝난다고 했습니다 이 예제에서는 이 나눗셈을 이렇게 다시 쓸 수 있습니다 f(x)는, 여기다 쓰겠습니다 3x^2-4x+7은 x-1 곱하기 여기 있는 몫 그러니까 이 식, 3x-1 곱하기 제수, x-1 아직 끝나지 않았습니다 이 곱을 계산해도 이 식이 되진 않습니다 나머지를 더해야 합니다 그러니 나머지 6을 더합니다 이 형태는 일반적인 수의 나눗셈과 형태가 같습니다 형태의 유사함을 확인하기 위해 25를 4로 나누는 경우를 생각해 봅시다 4는 25에 6번 들어갑니다 6 곱하기 4는 24이고 빼면 나머지 1이 남습니다 이 나눗셈을 다시 쓰면 25는 6 곱하기 4 더하기 1과 같다고 쓸 수 있습니다 여기서도 똑같은 방법으로 나타낸 것입니다 다항식이라는 점만 다릅니다 아직 증명은 시작하지 않았지만 우선 이런 형태에 익숙해지시길 바랍니다 이 다항식을 이 식으로 나눌 때 이런 몫을 얻는다는 것을 이 다항식이 3x-1 곱하기 x-1 더하기 6과 같다는 형태로 쓸 수 있습니다 이제 일반화해 봅시다 이게 f(x)이고 f(x)는 몫을 q(x)라고 합시다 이 부분이 q(x)입니다 f(x)는 몫, q(x) 곱하기 x-a, 이 경우에 a는 1이었습니다 이제는 일반화하겠습니다 x-a, 그 다음 나머지를 더한 식과 같습니다 나머지는 상수입니다 나머지는 항상 x-a보다 낮은 차수를 갖는데 x-a는 일차식이기 때문입니다 더 낮은 차수가 되기 위해서는 나머지가 0차식 즉 상수여야 합니다 따라서 이 식은 일반적으로 성립합니다 이 관계식은 모든 다항식 f(x)에 대해서 성립합니다 어떤 x-a로 나누더라도 성립합니다 이 식은 모든 f(x)와 x-a에 대해서 항등식입니다 그러면 f(a)의 값은 얼마일까요? f(x)는 이런 식으로 쓸 수 있으니 f(a)는 -- a는 다른 색깔로 쓰겠습니다 q(a) 곱하기 -- 어떻게 될지 예상이 되시나요? a 빼기 a 더하기 r이 됩니다 이 값이 얼마인가요? a-a는 0입니다 그래서 q(a)가 무엇이든지 0을 곱하면 이 전체 값은 항상 0입니다 따라서 f(a)는 r과 같습니다 이제 끝났습니다 이게 다항식의 나머지 정리의 증명입니다 임의의 함수를 x-a로 나누었을 때 몫 q(x)와 나머지 r을 얻게 되고 이런 형태로 표현할 수 있습니다 그리고 이 식에 x=a를 대입하면 f(a)는 항상 나머지와 같습니다 이렇게 다항식의 나머지 정리 증명이 끝났습니다 마법처럼 보였던 정리의 간단한 증명입니다