다항식의 나머지 정리 입문

다항식의 나머지 정리에 대해 말씀드리겠습니다 처음에는 이 정리가 마법처럼 보일 수도 있지만 다음 영상들에서 이 정리를 증명할 것이고 그러면 수학의 여러 다른 것들처럼 이 정리가 마법같다는 생각이 들지는 않을 것입니다 다항식의 나머지 정리가 무엇일까요? 다항식 f(x)을 x-a로 나누면 그 나머지가 f(a)가 된다는 정리입니다 나머지가 f(a)입니다 지금은 f(x)나 x-a 같은 표현 때문에 약간 추상적으로 느껴질지도 모릅니다 이제 좀 더 구체적인 예를 들어 보겠습니다 f(x)를 이차다항식으로 정의해 봅시다 어떤 다항식에 대해서든 성립하니까요 f(x)=3x^2-4x+7으로 정의합시다 그리고 a는 1이라고 놓겠습니다 이 식을 x-1로 나누는 것입니다 이 경우 a는 1입니다 다항식의 나눗셈을 해 봅시다 영상을 잠시 멈추고 다항식의 나눗셈이 익숙하지 않으시다면 이 영상 전에 다항식의 나눗셈에 관한 이전 영상을 먼저 보십시오 이 영상에서는 여러분들이 다항식의 나눗셈을 모두 할 줄 아신다고 생각하겠습니다 3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 얼마인지 이 나머지가 정말 f(1)인지 확인해 봅시다 한 번 해 봅시다 x-1로 3x^2-4x+7을 나눕니다 다항식의 나눗셈으로 아침을 시작하니 아주 상쾌하네요 여러분들도 지금 아침인지는 모르겠지만 말입니다 여기서의 최고차항은 x이고 여기서의 최고차항은 3x^2입니다 x가 3x^2에 몇 번 들어갈까요? 3x번입니다 3x 곱하기 x는 3x^2이니까요 여기 일차항 자리에 3x를 쓰고 3x 곱하기 x는 3x^2이고 3x 곱하기 -1은 -3x입니다 이제 이 값을 빼 줍니다 원래 나눗셈을 계산할 때 하는 것처럼 말입니다 3x^2 빼기 3x^2은 0이 되고 -4x 더하기 3x -- 마이너스가 두 번 있으니까요 -- -4x 더하기 3x는 -x가 됩니다. 새로운 색깔로 쓰겠습니다 -x가 되고 7을 그대로 내려서 나눗셈의 첫 번째 부분을 완성합니다 3, 4학년 때쯤 배웠듯이 말입니다 3x를 여기에 곱해서 3x^2-3x를 얻은 다음 원래 식인 3x^2-4x에서 빼서 여기 이 결과를 얻은 것입니다 아니면 원래의 전체 다항식에서 빼서 -x+7을 얻었다고 생각해도 됩니다 이제 x-1은 -x+7에 몇 번 들어갈까요? x는 -x에 -1번 들어갑니다 -1 곱하기 x는 -x이고 -1 곱하기 -1은 +1입니다 이 값을 빼면 나머지를 구할 수 있습니다 -x 빼기 -x, 그러니까 -x 더하기 x는 0이 되고 7에다가 앞에 마이너스 부호를 계산해 주면 -1이 되니까 7-1을 계산하면 6입니다 따라서 나머지는 6이 됩니다 이런 식으로 생각해 봅시다 아, 다음 영상에서 말씀드리는 게 더 낫겠군요 여기 이 값은 나머지입니다 다항식의 나눗셈에서 여기 이 식의 차수, 여기서는 0차입니다 차수가 제수, 여기서는 x-1의 차수보다 낮으면 나머지입니다 따라서 이 값이 나머지입니다 여기에는 이 값을 더 이상 넣을 수 없습니다 다항식의 나머지 정리가 사실이라면 여기서 예시로 든 이 나눗셈의 경우에서 이 결과가 정리를 증명하는 것은 절대 아니며 그냥 구체적인 하나의 예시일 뿐이지만 다항식의 나머지 정리에 따르면 다항식의 나머지 정리가 사실이라면 이 정리에 따라 f(a), 즉 f(1)은 6이 되어야 합니다 이 나머지와 같아야 합니다 확인해 봅시다 이 값은 3 곱하기 1의 제곱, 즉 3 빼기 4 곱하기 1, 즉 -4 더하기 7입니다 3-4+7은 실제로 6이 됩니다 이 특별한 경우에 대해서 다항식의 나머지 정리가 성립합니다 이 결과는 상당히 쓸모가 있습니다 3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 궁금할 때 몫은 전혀 신경쓰지 않고 오직 나머지에만 관심이 있을 때 a=1 값을 f에 대입해 6을 얻을 수 있습니다 이런 과정 없이 말입니다 대입만 하면 3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지를 얻을 수 있습니다