예제 : 라그랑주 오차범위를 사용하여 sin(0.4) 추정하기

매클로린 다항식을 이용하여 sin(0.4)를 추정하면 오차가 0.001보다 작다고 보장할 수 있는 다항식의 최소 차수는 얼마일까요? 무엇에 대해 이야기하고 있나요? 여기 함수가 있고 테일러 다항식으로 유명한 n차의 매클로린 다항식을 추정합니다 n차의 매클로린 다항식을 추정합니다 이것은 n차의 매클로린 다항식입니다 하지만 이는 정확한 근사값이 아닙니다 오류 혹은 나머지가 있을 것입니다 따라서 이것을 n차 매클로린 다항식의 나머지라고 부릅니다 이는 어떤 x에 대해서도 독립적입니다 이것을 문제에서 이용하려면 이렇게 나타낼 수 있습니다 sin(0.4)를 계산하면 x=0.4에서의 n차 매클로린 다항식의 값과 x=0.4에서의 n차 매클로린 다항식의 값과 x=0.4에서의 n차 나머지의 값의 합입니다 x=0.4에서의 n차 나머지의 값의 합입니다 구하고 싶은 것은 n의 최솟값입니다 구하고자 하는 것은 다른 색으로 할게요 구하고자 하는 것은 n의 최솟값입니다 Rn(0.4)<0.0001을 만족하면서 말이죠 Rn(0.4)<0.0001을 만족하면서 말이죠 Rn(0.4)<0.0001을 만족하면서 말이죠 이것은 문제를 다른 방식으로 나타낸 것입니다 여기서 할 수 있는 것은 다른 강의에서 증명한 라그랑주 오류입니다 이는 나머지와 테일러 정리로도 불립니다 우선 적으면서 설명해 볼게요 우선 적으면서 설명해 볼게요 생각보다 꽤 구체적입니다 테일러의 나머지 정리 혹은 라그랑주 오류의 상한선은 f^(n+1)(x)에 대하여 f^(n+1)(x)에 대하여 절댓값을 취한 것은 어떤 M보다 작거나 같다는 내용입니다 한 열린구간에 대해서 말이죠 그 열린 구간은 다항식이 가운데에 있도록 즉, 매클로린을 이용하여 0이 되도록 합니다 따라서 0을 포함하고 x도 포함합니다 이 문제에서는 x=0.4 이지만 일반적인 경우로 생각하여 x라고 두겠습니다 f^(n+1)(x)에 절댓값을 취한 것이 f^(n+1)(x)에 절댓값을 취한 것이 그 중심 일반적인 경우 c와 x를 포함하는 열린 구간에서 M보다 작거나 같다면 이는 라그랑주인데 유용한 부분입니다 나머지에 상한선이 있습니다 n차 다항식인 나머지에 말이죠 이것은 n+1번 미분한 함수이고 상한선이 있으며 함수에 근사한 n차 다항식인 나머지는 이 값보다 작거나 같을 것입니다 Mx^(n+1) / (n+1)! Mx^(n+1) / (n+1)! 그렇다면 이런 특정한 문제에 어떻게 적용할까요? 사인함수의 도함수를 생각해 봅시다 사인함수의 절댓값은 1보다 작거나 같고 그 도함수인 코사인함수에 절댓값을 취한 것은 상한선이 존재하는데 1보다 작거나 같습니다 따라서 사인함수를 몇 번 미분을 하여도 그 도함수의 절댓값은 1보다 작거나 같을 것입니다 따라서 일반화하자면 특정한 f(x)에 대하여 여기 있는 f(x)에 대하여 임의의 x에 대하여 f^(n+1)(x)의 절댓값은 1보다 작거나 같습니다 이는 f가 사인함수인 경우입니다 이는 f가 사인함수인 경우입니다 이는 임의의 구간에 대하여 항상 성립하는데 우리가 하려는 것처럼 꼭 제한된 구간일 필요는 없습니다 따라서 이는 M입니다 사인함수와 그 도함수는 모두 상한선이 있고 즉, 이 식의 절댓값의 상한선은 1이므로 M이 있고, 라그랑주 오류 상한선을 이용하면 M이 있고, 라그랑주 오류 상한선을 이용하면 n차 매클로린 근사에서 x=0.4를 대입하면 여기서는 일반화된 x를 사용할 필요는 없습니다 어떤 값보다 작거나 같습니다 M=1, x=0.4 이므로 0.4^(n+1) / (n+1)! 0.4^(n+1) / (n+1)! 여기에 절댓값을 취합니다 이것이 라그랑주 오류 상한선입니다 만약 이 값이 0.001보다 작다면 이것은 당연히 0.001보다 작을 것입니다 나머지는 이 값보다 작거나 같고 이 값은 0.001보다 작기 때문입니다 이 부등식이 성립하는 가장 작은 n은 무엇일까요? 단순히 n에 임의의 값을 대입하여 부등식이 만족할 때까지 서서히 증가시킬 수 있습니다 한번 해봅시다 표를 만들어 볼게요 깔끔한 표를 만듭니다 여기는 n이고 여기는 0.4^(n+1) / (n+1)! 입니다 여기는 0.4^(n+1) / (n+1)! 입니다 여기는 0.4^(n+1) / (n+1)! 입니다 n=1인 경우를 봅시다 0.4의 제곱이 되므로 0.4²/2! 0.16/2 0.08 입니다 이는 명백하게 0.001보다 작지 않습니다 n=2인 경우 0.4³/3! 이므로 계산하면 계산하면 0.064/6입니다 0.064/6입니다 이는 0.01보다 살짝 크므로 n이 충분히 크지 않습니다 n=3인 경우 0.4에 3+1 제곱이므로 0.4⁴/4! 이를 계산하면 이를 계산하면 소수 넷째 자리까지 있으므로 0.0256/24 소수 넷째 자리까지 있으므로 0.0256/24 아주 근접하게 0.001보다 살짝 큽니다 함정은 딱히 없습니다 n=4에 함정이 있어 보이는데 한번 증명해 봅시다 0.4^5/5! 0.4^5/5! 계산하면 무엇일까요? 소수 다섯째 자리까지 있으므로 0.01024이고 5!=120으로 나눕니다 이 값은 당연히 0.001보다 작습니다 명백하게 0.001보다 작습니다 따라서 n=4일 때 4차 나머지 다항식은 즉, 4차 매클로린 다항식은 x=0.4 에서 0.001보다 작습니다 이것이 오류를 0.001보다 작게 만들어주는 차수가 최소인 다항식입니다