테일러 다항식 나머지(1)

함수 f(x)가 있습니다 함수 f(x)가 있습니다 f(x)를 대략 그려보겠습니다 이는 x축 그리고 y축입니다 f(x)는 아마 이렇게 생겼겠죠 그리고 여기서 구하고 싶은 것은 x = a를 중심으로 하는 테일러 다항식입니다 이게 x축이고 이게 y축입니다 여기를 중심으로 한 테일러 다항식을 구해야 합니다 이를 풀어 본적이 있죠 테일러 다항식의 개념은 다항식의 차수까지의 도함수의 다항식의 도함수의 a에서의 값이 함수가 a일 경우의 값과 같아야 한다는 개념에서 나옵니다 그리고 다항식의 a에서의 값은 해당 함수가 a일 경우의 값과 같습니다 따라서 테일러 다항식의 어림값은 다음과 같습니다 P(x)라고 부를게요 가끔 N을 볼 수도 있습니다 이는 N번째 어림값을 나타내고 이와 같은 표시도 볼 것입니다 N,a 가 붙어있는 것이요 이는 a를 중심으로 하는 N차 어림값입니다 지금 적어볼게요 계속해서 적어야 한다면 건너뛸 수도 있지만 이 표시의 뜻은 a를 중심으로 하는 N차 다항식입니다 그리고 이는 다음과 같습니다 f(a) 더하기 f'(a) 곱하기 x-a 더하기 f''(a) 곱하기 (x-a)^2 나누기 2 혹은 2! 둘 다 같습니다 둘 다 같습니다 2!을 적겠습니다 여기에 나누기 1!입니다 더하기 f(a)의 삼계도함수 곱하기 (x-a)^3입니다 무엇을 적는지 알겠죠 나누기 3!입니다 계속 이렇게 적으면 N번째 항까지 적으면 이는 f의 N계도함수의 a일 경우의 값 곱하기 x-a (x-a)^N/N!입니다 그렇다면 여기 이 다항수는 여기 이 a를 중심으로 한 N차 다항식은 f(a) 혹은 P(a)는 f(a)와 같습니다 이 이유는 여기 모든 값들이 x-a를 포함하기 때문입니다 따라서 다항식에 a를 널으면 여기 모든 값들은 0이 됩니다 그리고 P(a)는 f(a)와 같게 되죠 여기 적어봅시다 P(a) = f(a) 이와 같은 형태를 띄겠죠 그리고 곡선에 더 가까워집니다 여기 항이 더 많아질수록 말이죠 따라서 이와 같겠죠 잘 그려볼게요 어떻게 생겼는지 말이죠 이는 다항식을 이용하여 함수를 어림하는 것의 복습입니다 항이 더 많을수록 차수가 더 높을수록 곡선에 더 가까워집니다 a에서 더 멀어지죠 하지만 이 영상에서 배워야 할 것은 a에서 멀어질수록 함수에 더 가까워진다는 것입니다 여기서 구해야할 것은 나머지의 함수입니다 혹은 어떤 교과서에선 오차함수라고 부릅니다 그리고 이 함수를 이 함수를 다른 모든 책에서의 표현과 모두 동일하도록 이를 몇몇 사람들은 나머지 함수라고 하고 그리고 나머지 함수라고 적겠죠 a를 중심으로 한 N차 다항식의 말이죠 또 몇몇 사람들은 오차함수라고 부를 것입니다 오차함수는 잘 사용되지 않는데 그 이유는 이게 확률의 기댓값과 헷갈리기 때문입니다 하지만 자주 보게 될 것입니다 E 는 오차를 뜻하고 R은 나머지를 뜻하죠 그리고 이와 같이 밑에 N,a가 있겠져 이제 해야 할 것은 해당 함수가 f(x)와 저희가 구한 f(x)의 어림값의 차이와 같도록 하는 것입니다 따라서 이는 같은 색으로 적어볼게요 이는 f(x) 빼기 P(x)입니다 이는 a를 중심으로 하는 N차 다항식입니다 예를 들어 이렇게 물어본다면 혹은 시각화를 하고 싶다면 x = b일 경우 a를 중심으로 한 N차 다항식의 오차를 구한다면 어떻게 해야할까요 이 값은 무엇인가요? 이를 어떻게 구할까요? b가 여기 있습니다 b의 오차는 f(b) 빼기 다항식이 b일 경우의 값입니다 따라서 f(b)는 여기 이 다항식입니다 따라서 이는 여기 이 거리와 같습니다 a에서의 오차를 구하면 0일 것입니다 이는 다항식과 함수가 같기 때문입니다 f(a)는 P(a)와 같습니다 그러면 a에서 오차는 0이 되겠죠 이를 적어봅시다 이 성질은 흥미롭네요 문제를 푸는데 도움이 될 예정이니 적어봅시다 a에서의 오차 함수입니다 그리고 나머지 영상에는 밑에 이를 적는다고 가정합니다 이는 a에 중심을 두는 N차 다항식입니다 이를 이제 적지 않겠습니다 적는 시간을 아끼기 위해서죠 손이 쉬도록 말이죠 따라서 a에서의 오차는 f(a) - P(a)입니다 그리고 다시 말하지만 밑에 N, a를 쓰지 않겠습니다 따라서 이는 a에 중심을 두는 N차 다항식이라고 가정할 수 있습니다 그리고 이 두 값은 서로 같습니다 따라서 이는 0과 같습니다 여기에 보이듯 말이죠 두 함수 사이의 거리는 0과 같습니다 다른 것에 대해서도 생각해봅시다 도함수의 오차함수의 a에서의 값을 구해봅시다 이는 도함수의 a에서의 값 빼기 다항식의 일계도함수가 a에서의 값입니다 르피로 치레 1차보다 높을 경우 해당 도함수가 a일 경우의 값보다 큽니다 여기서 일계도함수로 해봅시다 이 전체 식의 일계도함수를 구하면 이게 테일러 다항식이 유용한 이유 중 하나입니다 다항식의 차수 까지 모두 a 에서의 도함수의 값을 구한다면 이는 함수가 a에 있을 경우의 값과 같을 것입니다 그리고 이는 좋은 어림값이 됩니다 하지만 여기서 도함수를 사용한다면 여기 이 항은 사라지고 0이 됩니다 이를 지울게요 여기 이 항은 f'(a)일 것이고 그리고 나머지 다른 항들은 (x-a)가 남게 됩니다 그리고 a일 경우의 값을 구하면 여기 모든 x - a의 값들이 없어집니다 항에 -a가 있기 때문이죠 여기 이 항은 이미 사라지고 마지막에 이 항만 남습니다 P'(a) = f'(a)입니다 이를 전에 봤습니다 한번 적어봅시다 P'(a)는 f'(a)와 같기 때문에 오차 함수의 값을 구하면 a에서 오차 함수의 도함수를 구하면 이는 0과 같습니다 여기 이 성질은 N까지 항상 참입니다 여기 적어봅시다 이미 P(a) = f(a) 라는 것을 압니다 P'(a) = f'(a)라는 것도 압니다 이는 테일러 다항식의 정의에서 나옵니다 그리고 이는 다항식의 N계도함수가 다항식의 N계도함수가 a에서의 값이 함수의 N계도함수의 a에서의 값과 같습니다 따라서 이를 계속 할 수 있습니다 오차함수의 N계도함수가 a에서의 값은 이는 f의 N계도함수가 a일 경우의 값 빼기 다항식의 N계도함수가 a일 경우의 값입니다 그리고 이미 이 값은 a일 경우 N계도함수까지 같다고 말했습니다 따라서 이는 0과 같습니다 따라서 이는 흥미로운 성질이고 오차함수를 구하는 경우 매우 유용합니다 그리고 이게 이번 영상 그리고 다음 영상에서 제가 강조하고 싶은 것입니다 이를 이용하여 어림값이 얼마나 좋은지 구할 수 있죠 특히 저희가 시작한 중심에서 멀어질수록 말이죠 어림값을 구했던 중심 말이죠 도함수를 이 이상으로 구해봅시다 N+1계도함수를 구하면 어떻게 될까요 어디에 적어볼까요? 이건 마치 화면 부동산 같네요 오차함수의 N+1계도함수는 무엇인가요? a에서 값이 아니라 오차함수 E(x) 입니다 이 함수의 N+1계도함수가 무엇인가요? 이는 함수의 N+1번째 도함수 빼기 N+1번째 도함수 여기선 a에서 값이 아니라 x에서 값이죠 여기서 제가 하는 것은 양 변의 N+1계도함수를 구하는 것입니다 따라서 이는 함수의 N+1계도함수 빼기 N차 다항식의 N+1계도함수입니다 N차 다항식의 N+1계도함수죠 여기에 N을 적고 a를 적을게요 이게 a를 중심으로 한 N차식이라는 것을 의미하죠 N차 다항식의 N+1계도함수가 무엇인가요? 힌트를 원한다면 y = x의 이계도함수를 구해보세요 이 일차 다항식의 이계도함수를 구하면 0이 나옵니다 y = x^2의 삼계도함수를 구해봅시다 도함수는 2x고 이계도함수는 2입니다 삼계도함수는 0이죠 따라서 N차 다항식의 N+1계도함수를 구하면 혼자 증명할 수 있죠 일반적으로 정의할 수 있습니다 하지만 이해가 잘 안될 수도 있습니다 이는 0입니다 이는 0입니다 따라서 여기 이 값은 N차 다항식의 N+1계도함수와 같습니다 이는 0입니다 여기에 적을게요 오차함수의 N+1계도함수는 혹은 나머지 함수의 N+1계도함수는 함수의 N+1계도함수와 같습니다 좋아요 이제 이 내용을 다음 영상에서 계속 다루면서 한계값을 구할 수 있을까요? 한계값을 구하고 구할 수 있다면 이 값에서 상한을 구할 수 있다면 따라서 구하고 싶은 것은 종합적인 크기의 한계를 구해야 합니다 절댓값의 한계를 구해야 하죠 M보다 작다는 것을 알 수 있다면 그리고 한계를 구할 수 있다면 미적분을 할 수 있겠죠 계속 적분을 해서 원래의 함수로 돌아가고 한계를 어떻게 구해봅시다 여기에 이 한계를 알 수 있다면 말이죠 이는 다음 영상에서 보여드릴게요