예시: 라그랑주 오차범위를 사용하여 eˣ 추정하기

x=2에 대하여 테일러 다항식을 이용하여 e^1.45를 추정할 때 오류가 0.001보다 작다는 것이 보장되는 다항식의 최소차수는 얼마일까요? 일반적으로 이런 상황이 있다면 어떤 값을 중심으로 테일러 다항식을 이용하여 함수를 근사시키는 상황이 있다면 얼마나 많은 항이 필요한지 오류의 상한선을 정하는 차수는 얼마인지 구해야 합니다 이제부터 사용할 라그랑주 오류 상한선 혹은 테일러의 나머지정리가 좋은 단서가 됩니다 다시 상기시켜 보자면 테일러의 나머지정리를 복습해 봅시다 n차 테일러 다항식의 나머지의 절대값은 오른쪽에 있는 이 식보다 작거나 같습니다 n은 문제에 있는 다항식의 차수입니다 n은 문제에 있는 다항식의 차수입니다 x는 오류를 계산하는 값이고 여기서는 1.45입니다 c는 테일러 다항식의 중심이 되는 것입니다 그렇다면 M은 무엇일까요? M은 n+1번 미분한 함수의 절댓값의 상한선입니다 장황하고 복잡해 보이지만 이 예제의 세부 사항들을 해결하고 나면 좀 더 구체적이게 될 것입니다 이 식에 대하여 e^x를 추정하고 있습니다 f(x)를 적어볼게요 f(x) = e^x 입니다 f(1.45)를 추정하고자 합니다 M을 구하기 위해서 상한선을 정해봅시다 상기시켜 보죠 이 식의 도함수는 e^x 입니다 이계도함수는 e^x 입니다 n번 미분한 함수는 e^x 입니다 n+1번 미분한 함수도 e^x 입니다 따라서 f를 n+1번 미분한 함수는 e^x가 됩니다 아주 간단하죠 e^x가 됩니다 아주 간단하죠 이러한 유형의 문제는 n+1번 미분함 함수의 상한선을 정하기 까다롭다면 상당히 어려워집니다 알다시피 e^x는 알다시피 e^x는 절댓값이 양수이고 e²보다 작거나 같습니다 e²보다 작거나 같습니다 0 < x < 2의 범위에서 말이죠 0 < x < 2의 범위에서 말이죠 e^x는 전범위에 대하여는 상한선이 존재하지 않습니다 e^x는 전범위에 대하여는 상한선이 존재하지 않습니다 x가 무한대로 가면 e^x도 무한대가 됩니다 하지만 여기서 구간을 정했죠 알고 있는 x의 값을 고려하여 구간을 정했습니다 기억하세요 x=1.45 입니다 또한 함수의 중심이 되는 것을 포함합니다 함수의 중심은 2입니다 따라서 상한선이 e² 이므로 e²을 M으로 사용할 수 있습니다 e²을 M으로 사용할 수 있습니다 이것이 상한선입니다 이제 라그랑주 오류 상한선으로 바로 갈 수 있습니다 n차 테일러 다항식의 나머지는 n차 테일러 다항식의 나머지는 n을 구하고자 합니다 x=1.45일 때 적절한 상한선이 나오도록 하는 n의 값을 구해야 합니다 x=1.45일 때 M=e²이고 분모는 (n+1)!이고 분모는 (n+1)!이고 x=1.45이며 이는 오류를 계산하는 값 즉, 오류의 상한선을 정하는 값입니다 중심이 되는 값을 뺍니다 즉, (1.45 - 2)^(n+1)을 곱합니다 1.45 - 2 = -0.55 1.45 - 2 = -0.55 적어보겠습니다 이 식은 (-0.55)^(n+1) 입니다 이 식은 (-0.55)^(n+1) 입니다 이 식은 (-0.55)^(n+1) 입니다 n을 구해야 하는데 이 식을 모두 계산한 값은 0보다 작습니다 대수적인 조작을 해 봅시다 이 항은 양수 이 항도 양수이지만 이 항은 독립적인 항이 아닙니다 이 항은 독립적인 항이 아닙니다 하지만 e²은 양수이고 (n+1)!도 양수입니다 -0.55의 거듭제곱은 양수일 수도 음수일 수도 있습니다 하지만 절댓값을 취하므로 이렇게 적겠습니다 e² 절댓값을 취하므로 0.55^(n+1) 분모는 (n+1)!인 이 식은 0.001보다 작아야 합니다 혹은, n을 구해야 하므로 양변을 e²으로 나눠봅시다 따라서 이렇게 나타냅니다 0.55^(n+1) / (n+1)! 0.55^(n+1) / (n+1)! 0.55^(n+1) / (n+1)! 이 식은 0.001/e² 보다 작습니다 0.001/e² 보다 작습니다 이를 계산하려면 계산기가 필요합니다 이 식이 성립할 때까지 n에 계속하여 큰 수를 대입할 것입니다 그리고 이 식을 성립하게 하는 가장 작은 n도 구할 것입니다 따라서 이 식을 계산하기 위해 계산기를 이용해 봅시다 먼저 0.001을 e²으로 나눕니다 먼저 0.001을 e²으로 나눕니다 깔끔한 값이 나오길 바랍니다 e를 제곱하여 역수로 바꾼 뒤 0.001을 곱합니다 0.001을 곱하면 이 값은 대략 이 값은 대략 0이 세 개 있고 135가 있습니다 136으로 할게요 따라서 0.000136보다 작습니다 따라서 0.000136보다 작습니다 이 값보다 작도록 하는 n을 구할 수 있다면 이렇게 바꾸죠 135로 하여 이 값보다 작도록 만듭니다 그래야 보기 좋습니다 실제로 135보다는 큽니다 이 값보다 작도록 하는 n을 구한다면 원하는 모습이 됩니다 0.55^(n+1) / (n+1)! 0.55^(n+1) / (n+1)! n에 값을 대입해 봅시다 계산기를 꺼낼게요 봅시다 제대로 한 거 맞죠? 맞네요 0.000135입니다 이 값보다 작도록 만들어야 합니다 이 값보다 작기 때문이죠 좋습니다 한번 해볼게요 n=2를 대입해 봅시다 n=2를 대입해 봅시다 n=1, 2, 3을 대입합니다 n=2로도 만족한다면 n=1을 대입해 볼 것입니다 그러나 n=2로 만족하지 않는다면 n=3, 4를 대입할 것입니다 n=3을 대입해 봅시다 n=3을 대입해 봅시다 n=3이라면 0.55⁴/4! 입니다 계산해 볼게요 0.55의 네제곱을 0.55의 네제곱을 4!로 나눕니다 4!=24 입니다 가깝지 않네요 n=4를 대입해 봅시다 n=4라면 0.55^5 / 5! 입니다 0.55의 다섯제곱을 0.55의 다섯제곱을 5!=120으로 나누면 5!=120으로 나누면 5!=120으로 나누면 좀 더 가까워졌습니다 n=5가 정답이 아닐까 예상해 봅니다 다시 리셋시키고 n=5일 때 0.55^6 / 6! 입니다 6!=720 입니다 6!=720 입니다 사실 암산으로 했습니다 여하튼 계산해 봅시다 0.55에서 n=5 이므로 여섯제곱을 하고 여섯제곱을 하고 720으로 나누면 720으로 나누면 이 값은 명백하게 아래 값보다 작습니다 0이 소수점 뒤에 4개 있고 아래 수는 3개 있습니다 따라서 n=5일 때 충분히 만족합니다 나머지는 이 값보다 충분히 작습니다 나머지는 이 값보다 충분히 작습니다 따라서 오류가 0.001보다 확실히 작도록 만드는 다항식의 최소 차수는 5 입니다 n=5라면 이 값보다 작아집니다