지수 모델 & 미분방정식 (1부)

이번에 강의에서 할 것은 미분 방정식을 통해 대상을 모델링 하는 것 입니다 그리고 이번 강의에서는 인구 수에 대해 모델링 해보겠습니다 인구 수 모델링 더 깊은 지식에 대해 알아 볼 수 도 있지만 우리는 간단한 모델링으로 부터 시작하기 위해서 쉬운 예시들을 통해 미분 방정식을 사용하는 논리에 대해 알아보겠습니다 이 내용은 이미 대수학이나 예비 미적분학에서 학습했을 수도 있습니다 몇몇 사람에게는 이 강의가 복습하는 수준이 될 수도 있습니다 여기서 심도있게 알아 볼 것은 미분 방정식을 사용한 모델링의 힘입니다 몇 가지 변수들을 설정합시다 P를 인구수라고 설정하겠습니다 t는 시간이 지나간 정도를 의미합니다 몇 일이 될 수도 있고, 몇 달, 몇 년이 될수도 있습니다 인구 수를 빠르게 증식하는 곤충이라고 생각하겠습니다 그렇다면 "몇 일"단위가 적합할 것으로 생각됩니다 그렇다면 합리적인 모델을 만드려면 어떻게 해야할까요? 변화의 비율은 시간에 따라 변하는 인구수의 변화하고 합시다 그리고 시간은 합리적으로 실제 인구수와 비례한다고 합시다 실제 인구수와 비례한다고 합시다 왜 이 조건이 합리적일까요? 많은 인구수를 다룰 때 더 큰 비율이 적용됩니다 1000명이 있다고 하면 각각이 재 생산하는 인구 수는 더 많을 것이며 1000마리의 곤충들은 시간당, 날짜당, 연도당 빠르게 증식할 것 입니다 10마리의 곤충만 있을 때보다 말이죠 인구의 증가 비율은 시간에 관계된다고 해야 정당합니다 인구 증가 비율은 매우 복잡한 변수들에 의해 미분 방정식으로 표현되지만 지금 다룰 것은 매우 복잡한 아이디어가 아닌 합리적이며 복잡하지 않은 아이디어 입니다 인구 수의 증가 비율은 인구 수에 비례하도록 합니다 그리고 조건들을 수식으로 표현한다면 미분 방정식을 해결할 수 있습니다 일반 해를 찾기 위해 초기 조건과 정보들이 필요합니다 비례 상수를 찾기 위해서 또는 특정한 해를 찾기 위해서는 조건들이 필요합니다 그렇다면 어떻게 해야할까요? 잠시 영상을 멈추고 주어진 미분 방정식을 해결해보록 합시다 미분 방정식 풀이를 시도해보았다면 아마 즉시 주어진 미분 방정식이 분해 가능한 미분 방정식임을 알게 되었을 것입니다 그리고 분해 가능한 미분 방정식에서는 한쪽으로 하나의 변수를 포함하는 미분항을 모두 옮기고 다른 쪽으로 다른 변수를 포함하는 미분항을 옮겨주면 됩니다 다른 쪽으로 다른 변수를 포함하는 미분항을 옮겨주면 됩니다 그리고 양변을 통합시키면 됩니다 다시 말하면 t에 대해 미분한 P항은 분수가 아닙니다 시간에 따라 변화하는 P를 나타낸 것입니다 이것은 매우 순간적인 변화이지만 분리 가능한 미분 방정식을 위해 또는 일반적인 미분 방정식을 다루기 위해 라이프니츠 표기법에 의해 분수처럼 표기되어 있지만 후에 적분할 것이기 때문에 미분항으로 고려할 수 있습니다 그럼 그렇게하자. P와 dP항을 한쪽으로 모아보겠습니다 양 변에 P를 포함하는 항이 있으므로 양 변에 P를 포함하는 항이 있으므로 양 변을 P로 나누겠습니다 양변을 P로 나눈 다는 것은 양변에 1/P를 곱함을 의미합니다 우변의 P는 약분 되고 양변에 dt를 곱합니다 양변에 dt를 곱합니다 미분항을 양과 같이 다루지만 미분항은 사실 양은 아닙니다 미분항은 시간에 따라 변화하는 P에 대해 나타낸 것입니다 매우 작은 시간 단위에 대해 변화를 알아보는 것입니다 다시 살펴보면 좌변은 1/P×dP만 남고 그 것은 kdt와 같게 됩니다 이제 양 변을 적분해보겠습니다 분리 가능한 미분 방정식으므로 P와 dP항을 t를 포함한 항으로 부터 분리 시켰습니다 P를 포함하지 않는 항들 우변에 있습니다 좌변을 적분하면 P의 절댓값의 자연로그 값이 되고 좌변에도 적분상수를 넣을 수 있지만 양 변에 적분 상수가 있을 것이기 때문에 우변에 활용하도록 하겠습니다 우변은 kt가 됩니다 또한 적분 상수가 더해집니다 또한 적분 상수가 더해집니다 적분 상수를 C_1이라고 부르겠습니다 다시 말하면 좌변에도 적분 상수를 넣을 수 있지만 양 변에서 빼었다고 생각하고 우변에만 넣기로 합니다 이제 P에 대해 어떻게 풀까요? P의 절댓값의 자연로그값이 우변과 같으므로 P의 절댓값의 자연로그값이 우변과 같으므로 P의 절댓값의 자연로그값이 우변과 같으므로 P의 절댓값은 P의 절댓값은 e에 우변을 지수로 하는 항과 같다고 할 수 있습니다 즉 P의 절댓값이 e^(kt+C_1)이라는 의미입니다 이것을 같은 표현으로 다시 쓰면 지수 법칙에 의해서 e^(kt)×e(C_1)과 동일합니다 e^(kt)×e(C_1)과 동일합니다 e^(kt)×e(C_1)과 동일합니다 e^(C_1)항은 상수항이므로 e^(C_1)항은 상수항이므로 상수 C라고 부르겠습니다 따라서 좌변을 간략화시키면 Ce^(kt)가 됩니다 Ce^(kt)가 됩니다 그리고 우리가 인구를 어떤 시간에 대해 추정하더라고 양의 값을 가지므로 절댓값 기호를 없앨 수 있습니다 그리고 일반적인 미분방정식에서 비례적 관계에 있다고 말하는데 초기값을 우리는 현재 모르고 있습니다. 양의 값을 가지는 인구 수는 양의 값을 가지는 인구 수는 상수 C와 e^(kt)의 곱으로 표현 가능함을 알 수 있습니다 이 등식을 이미 봤을 것이라고 얘기한 이유는 이 등식을 이미 봤을 것이라고 얘기한 이유는 이것은 단지 지수함수이기 때문에 대수학이나 예비 미적분학에서 접했을 것입니다 이미 당신은 지수함수를 이용하여 인구수와 같은 것들을 모델링 해 보았을 것입니다 인구수와 같은 것들을 모델링 해 보았을 것입니다 이것이 흥미로운 이유는 이 전체 과정의 논리는 미분방정식에서 시작했다는 것입니다 미분방정식에서 시작했다는 것입니다 t에 대해 변화하는 인구수, 그리고 인구수에 비례하기 때문입니다 다음 강의에서는 10, 11학년 학생들은 아마 이미 해보았겠지만 초기조건을 통해서 일반해를 찾는 것에 대해 학습하겠습니다 일반해를 찾는 것에 대해 학습하겠습니다