예제: 미분방정식의 지수해

미분 방정식이 있습니다 x에 대한 y의 도함수는 3y입니다 x = 1일 때 y = 2가 되는 특정한 해를 구하고자 합니다 특정한 해를 구하고자 합니다 동영상을 멈추고 문제를 스스로 풀어보세요 좋습니다 이제 같이 풀어 봅시다 여러분 중 일부는 이미 이건 미분 방정식 중 해가 지수 형태인 것이라 생각하고 문제를 바로 푼 사람도 있겠죠 하지만 저는 바로 그렇게 하지 않고 이것이 분리할 수 있는 미분 방정식이란 사실로 문제를 풀어보겠습니다 분리할 수 있다는 뜻은 한변에 y와 dy를 놓고 다른 변에는 x와 dx를 놓을 수 있다는 뜻입니다 그렇다면 이 식의 양변을 y로 나누고 dx로 곱하면 됩니다 1/y dy = 3dx가 나옵니다 1/y dy = 3dx가 나옵니다 그러면 좌변과 우변이 이제 적분할 수 있도록 깔끔해 집니다 사람들이 분리 가능한 미분 방정식이라 하는 것이 바로 이것입니다 미분 방정식이라 하는 것이 바로 이것입니다 만약 좌변을 일반적인 형태로 쓰면 1/y의 부정적분은 ln |y|입니다 여기서는 y에 대해 부정적분을 구하니까요 상수를 더할 수도 있지만 상수를 우변에 더할 것이니 괜히 양변에 임의의 상수가 두 개 있을 필요가 없습니다 괜히 양변에 임의의 상수가 두 개 있을 필요가 없습니다 한변에 하나만 더하면 됩니다 따라서 이것은 무엇과 같냐면 이것의 부정적분이며 이는 3x이고 방금 말한대로 상수를 추가하겠습니다 이제 생각해 봅시다 이것을 지수 형태로 다시 쓸 수 있습니다 이렇게 쓸 수 있죠 e^(3x + C)가 y와 같다고요 y의 절댓값은 e^(3x + C)입니다 이건 e^ 3x + e^C라고 쓸 수 있습니다 이건 e^3x + e^C라고 쓸 수 있습니다 e^C는 또한 임의의 상수이며 다시 C라고 쓸 수 있습니다 다른 값이긴 하겠지만 구조를 보고자 하는 것이니 괜찮습니다 구조를 보고자 하는 것이니 괜찮습니다 따라서 이건 어떤 상수에 e^3x를 곱한 것입니다 다르게 생각해보면 y의 절댓값이 이것과 같다고 하는 것은 이건 아직 함수가 아닙니다 이 미분 방정식의 함수인 해를 찾아야 하는데 말이죠 y = Ce^3x이거나 y = Ce^3x이거나 y = -Ce^3입니다 이건 일반적인 형태입니다 C가 무엇인지 모르죠 C가 무엇인지 모르죠 따라서 대신 그냥 이걸 골라 C에 대해 풀면 됩니다 이게 맞다고 가정하고요 이것 사용해 제약조건을 지킬 수 있는지 확인하고 그러면 결과적으로 이것도 고려한 것이 됩니다 양수이던 음수이던지요 그렇게 해 봅시다 y = 2일 때 특정 해를 찾기 위해 C에 대해 푸는 것이 아니라 x = 1일 때 y = 2입니다 x = 1일 때 y = 2입니다 이렇게 쓸 수 있죠 2 = Ce^3이 됩니다 2 = Ce^3이 됩니다 2 = Ce^3이 됩니다 C를 구하려면 양변을 e^3으로 나누면 되죠 아니면 양변을 e^-3으로 곱해도 되고요 아니면 양변을 e^-3으로 곱해도 되고요 2 e^-3 = C가 됩니다 2 e^-3 = C가 됩니다 이제 다시 대입해서 원하던 특정 해는 y = e^-3 e^3x입니다 같은 밑인 지수의 곱이기 때문에 같은 밑인 지수의 곱이기 때문에 지수 부분을 더할 수 있습니다 y = e^3x -3이라 할 수 있습니다 y = e^3x -3이라 할 수 있습니다 y = e^3x -3이라 할 수 있습니다 y = e^3x -3이라 할 수 있습니다 분리 가능한 미분 방정식의 조건을 만족하는 해를 적는 방법 중 하나를 알아보았습니다