지수 모델 & 미분방정식 (2부)

저번 강의에서 시간에 대한 인구 변화의 비율은 인구에 비례한다는 것을 알게 되었고 몇 가지 미분 방정식을 해결하여 일반적인 해를 찾을 수 있었습니다 자연 상수 e를 포함한 형태로 말입니다 e가 다른 상수들과 곱해지는데 저번 강의에서 그 상수는 날짜라는 것을 알았습니다 이것을 적용시켜보도록 하겠습니다 사실에 기반한 숫자들을 사용하여 알아봅시다 지수함수와 관련해서 추정을 해볼 수 있을 것입니다 그리고 몇 가지 정보와 초기 조건을 사용하여 상수들이 무엇인지 알아낼 수 있을 것입니다 이러한 작업들을 예비 미적분학이나 대수학 수업에서 이미 했을 수도 있습니다 다시 한 번 해보도록 하겠습니다 다시 한 번 해보도록 하겠습니다 몇 가지 정보를 주도록 하겠습니다 시간이 0일 경우에 인구 수는 100이라고 하겠습니다 인구를 측정한 것과 별개로 말입니다 그리고 시간이 50이 되었을 때 즉 50일이 지난 후에는 인구 수가 200이라고 합시다 50일이 지난 후에 2배가 됨을 알 수 있습니다 주어진 조건에 의해서 C와 k값을 찾을 수 있을까요? 영상을 잠시 멈추고 스스로 구해보도록 합시다 주어진 초기 조건이 꽤 쉽게 주어졌으므로 t=0일 때 P=100이라는 것을 알 수 있습니다 주어진 정보에 의해 100=Ce^k(0)과 같아야 함을 알 수 있습니다 따라서 e^0=1이므로 따라서 e^0=1이므로 C×1과 같으므로 C값을 구했습니다 C×1과 같으므로 C값을 구했습니다 따라서 알게 된 정보로 다시 쓰면 인구 수는 100e^(kt)라는 것을 알 수 있습니다 표현된 형태에서 보면 C는 초기 조건의 인구 수와 같음을 알 수 있습니다 두번째 주어진 정보에 의해 50일 후에 인구 수가 200이 되었으므로 50일 후에 인구 수가 200이 되었으므로 200=100e^(50k)가 됩니다 t=50입니다 다시 써보도록 할게요 k 곱하기 50 양변을 100으로 나누고 2=e^(50k)임을 알 수 있습니다 양변에 자연 로그를 취해주면 좌변은 자연 로그를 취해주면 ln2가 되고 우변에 자연로그를 취해주면 자연 로그는 밑을 e로 하는 로그 이고 지수가 50k이기 때문에 우변은 50k가 됩니다 값을 구하기 위해 양변에 자연 로그를 취했습니다 쓰여진 등식은 처음 세운 등식과 같은 것이므로 ln2=50k 라는 것은 e^(50k)=2라는 것을 의미합니다 따라서 k값을 구할 수 있습니다 양변을 다시 50으로 나눠주면 k=ln2/50이 됩니다 마무리 되었습니다 따라서 알게 된 값으로 다시 일반 해를 써보면 따라서 알게 된 값으로 다시 일반 해를 써보면 이제 시간에 대한 함수로 인구 수를 나타낼 수 있습니다 이제 시간에 대한 함수로 인구 수를 나타낼 수 있습니다 시간에 대한 인구수 P(t)는 100e^(ln2/50×t)가 됩니다 100e^(ln2/50×t)가 됩니다 따라서 인구 변화의 비율은 인구 수에 비례함을 추정할 수 있고 주어진 조건들에 의해서 이 함수가 인구의 증가를 표현할 수 있을 것입니다 이 함수가 인구의 증가를 표현할 수 있을 것입니다