표준 방정식으로부터 원 그리기

원 (x+5)^2+(y-5)^2=4의 그래프를 그려봅시다 여러분이 무슨 생각을 하는지 알고 있습니다 오른쪽에 있는 것들에 대한 의문이 들 겁니다 사실 이것들은 칸 아카데미에서 오류를 확인하기 위해 사용하는 겁니다 연습문제를 풀어봅시다 방정식의 그래프를 그리기 위해 원의 중심과 둘레를 드래그하라고 되어 있습니다 첫 번째로 생각해볼 문제는 이 방정식의 중심이 무엇인지에 대한 것입니다 원의 방정식의 표준형은 (x-중심의 x 좌표)^2 + (y-중심의 y 좌표)^2 =(반지름)^2입니다 (x-중심의 x 좌표)^2 + (y-중심의 y 좌표)^2 =(반지름)^2입니다 (x-중심의 x 좌표)^2 + (y-중심의 y 좌표)^2 =(반지름)^2입니다 (x-중심의 x 좌표) 부분을 봅시다 중심의 x 좌표는 -5가 될 겁니다 -5에 -1을 곱하게 되면 여기의 +5가 나옵니다 그래서 x 좌표는 -5가 되고 y 좌표는 +5가 됩니다 (y-중심의 y 좌표) 부분 때문에 y좌표는 +5가 됩니다 그리고 반지름의 제곱은 4입니다 즉 반지름은 2가 됩니다 즉 반지름은 2가 됩니다 이런 식으로 바깥쪽으로 크기를 키울 수도 있지만 지금 그려진 원의 반지름이 사실 2입니다 이제 다 끝난 겁니다 방금 한 것의 요점을 짚어보겠습니다 스크래치 패드를 꺼내도록 하겠습니다 방금 마이크 죄송합니다 원의 방정식은 (x+5)^2+(y-5)^2=4 였습니다 (x+5)^2+(y-5)^2=4 였습니다 (x+5)^2+(y-5)^2=4 였습니다 이 원의 방정식을 (x-(-5))^2+(y-(+5))^2=2^2로 다시 써보겠습니다 (x-(-5))^2+(y-(+5))^2=2^2로 다시 써보겠습니다 (x-(-5))^2+(y-(+5))^2=2^2로 다시 써보겠습니다 (x-(-5))^2+(y-(+5))^2=2^2로 다시 써보겠습니다 (x-(-5))^2+(y-(+5))^2=2^2로 다시 써보겠습니다 (x-(-5))^2+(y-(+5))^2=2^2로 다시 써보겠습니다 위 식을 통해 원의 중심의 x 좌표는 -5 y 좌표는 +5가 되고 반지름은 2가 됨을 알 수 있습니다 여기에 비법 같은 것은 없습니다 저는 여러분이 이 공식을 외우는 데 그치기를 원하지 않습니다 여러분이 이 공식이 피타고라스의 정리와 거기서 나온 점 사이의 거리를 구하는 공식에서 나왔음을 알기 바랍니다 어떤 원의 중심이 주어졌을 때를 생각해봅시다 지금은 (-5, 5)이 주어졌습니다 지금은 (-5, 5)이 주어졌습니다 그리고 모든 x와 y는 중심으로부터 2만큼 떨어져 있습니다 모든 x와 y가 중심으로부터 2만큼의 거리에 있습니다 이게 그 중 하나인 (x, y)입니다 이 거리는 2입니다 수많은 (x, y)들이 존재할 겁니다 여러분이 모든 (x, y)를 나타내게 되면 그 점을 중심으로 하는 반지름이 2인 원을 얻게 됩니다 더 나아가서 실제 공식을 어떻게 얻었는지 생각해 봅시다 다음 좌표와 모든 (x, y) 간의 거리는 여기든지 여기든지 2가 됩니다 x의 변화를 구해봅시다 x-(-5)입니다 x-(-5)입니다 이것이 어떤 점 (x, y)와 (-5, 5) 사이에서 생기는 x의 변화입니다 x의 변화량의 제곱에 y의 변화량의 제곱을 더해봅시다 y의 변화량은 y에서 이 점의 y좌표를 뺀 값과 같습니다 이 식은 반지름의 제곱과 같아지게 됩니다 이 식은 반지름의 제곱과 같아지게 됩니다 y의 변화량은 이 y에서부터 저 y를 뺀 값입니다 이게 끝점입니다 끝점에서 시작점을 뺀 값은 (y-5)입니다 중심에서의 거리가 2인 어떤 (x, y)에서도 이 방정식은 성립합니다 이제부터 흰색으로 적겠습니다 이 식은 다시 (x+5)^2+(y-5)^2=4로 (x+5)^2+(y-5)^2=4로 (x+5)^2+(y-5)^2=4로 (x+5)^2+(y-5)^2=4로 적을 수 있습니다 저는 공식을 암기하기만 하는 것을 좋아하지 않습니다 다른 것과의 연관성을 알 수 없기 때문입니다 여기에다 삼각형을 한 개 그려봅시다 이것이 x의 변화량입니다 이것이 x의 변화량입니다 이것이 x의 변화량입니다 y의 변화량의 제곱이 아닌 y의 변화량은 y의 변화량은 여기에 주어져 있습니다 y의 변화량은 y의 변화량은 y의 변화량은 (y-5)입니다 (y-5)입니다 (y-5)입니다 그리고 x의 변화량은 (x-(-5))입니다 (x-(-5))입니다 x의 변화량의 제곱과 y의 변화량의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다 빗변의 길이는 반지름의 길이와 같습니다 여기서 다시 한 번 피타고라스의 정리가 나옵니다 여러분들이 이해했기를 바랍니다