원의 표준 방정식의 특징

원 C의 방정식은 (x+3)^2+(y-4)^2=49 입니다 원의 중심 (h,k)와 반지름 r을 구해봅시다 원이 어떻게 생겼는지 살펴봅시다 점 (h,k)를 찍습니다 구하고자 하는 원은 이 점으로 부터 거리가 같은 점들의 집합입니다 점 (h,k)로 부터 r만큼 떨어진 모든 점들의 집합을 찾아봅시다 긋고 있는 선의 길이를 r이라 합시다 우리가 원하는 건 기준점으로 부터 r만큼 떨어진 모든 점들의 집합입니다 우리가 원하는 건 기준점으로 부터 r만큼 떨어진 모든 점들의 집합입니다 점 (x,y)는 (h,k)로 부터 r만큼 떨어져 있습니다 그리고 이 점을 (h,k)을 중심으로 회전시키면 점들의 기준점부터의 거리는 r이 됩니다 원을 그려보면 원을 그려보면 대충 감이 올껍니다 원의 모든 점은 중심으로 부터 r만큼 떨어져 있습니다 이 모든 점들이 (h,k)로부터 r만큼 떨어저 있습니다 이 모든 점들을 r, h, k, x, y를 이용한 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 우선 좌표 평면 위의 두 점 간의 거리를 구하는 법을 이용합니다 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 유도됩니다 이 점에서 수직선을 그어 두 점의 y 좌표의 차이를 구해봅시다 두 점의 y 좌표가 각각 y, k이므로 y축 거리는 y-k 가 됩니다 이것을 수평축에도 적용하면 두 점의 x 좌표가 각각 x, h이므로 x축 거리는 x-h가 됩니다 보이는 삼각형은 직각삼각형입니다 파란색 선이 수직방향이고 초록색 선이 수평 방향이기 때문에 이 두 선은 직각을 이루기 때문입니다 피타고라스 정리에 의해 초록 선분 길이 제곱과 파란 선분 길이 제곱의 합은 빗변 길이(r)의 제곱과 같게 되고 이것이 두 점 간의 거리를 구하는 방법입니다 적용해보면 (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 이 됩니다 적용해보면 (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 이 됩니다 이것은 이 원이 만족하는 모든 점 (x,y)에 대한 방정식입니다 모든 점 (x,y)에 대한 방정식입니다 이제 답을 내봅시다 이 원의 방정식은 이것입니다 아까 쓴 방정식과 매우 유사합니다 부호를 헷갈리지 않게 주의하세요 부호를 헷갈리지 않게 주의하세요 식이 x-h, y-k의 꼴이 돼야 하기 때문에 이번엔 좀 다르게 표현하겠습니다 (x+3)^2 대신에 (x-(-3))^2로 표현하고 (x-(-3))^2 + (y-4)^2= 49인데, 49 대신 7의 제곱이라 표현합시다 훨씬 명확해졌습니다 h= -3이고 h= -3이고 k= 4, r= 7 입니다 그러므로 점 (h, k)는 (-3, 4)라고 할 수 있습니다 (-3, 4)라고 할 수 있습니다 마이너스 부호 때문에 헷갈리지 말아야 할 것은 식에서 -k, -4로 되어있기 때문에 k= 4라는 것입니다 마찬가지로 식에서 -h로 되어 있기 때문에 h가 3이라 착각할 수 있지만 식에서 h를 빼고 있기 때문에 h= -3 이고, 마찬가지로 반지름은 7입니다