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주요 내용
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동영상 대본

세로 1m, 가로 2m인 포켓볼당구대가 있습니다 모서리에 4개, 가로 변의 중점에 2개 총 6개의 포켓(구멍)이 있습니다 큐볼 하나가 북쪽 벽과 서쪽 벽에서 각각 0.25m 떨어져 있습니다 즉 이 거리는 북쪽 벽과 서쪽 벽에서부터 1/4 m입니다 공이 벽에 입사해서 거울처럼 반사되는만큼 각이 형성됩니다 오른쪽 아래로 입사하고 튕겨서 반사되는데 이 선들은 서로 대칭입니다 가운데 회색선이 거울이라고 상상하면 입사하고 튕긴 선들이 서로 대칭이라는 것을 알 수 있죠 공이 벽에 부딪히는 곳부터 남동쪽 꼭짓점까지를 x라고 했을 때 큐볼이 남쪽 벽의 중점에 있는 포켓에 들어가려면, 남동쪽 끝으로부터 얼마나 떨어져서 부딪혀야 할까요? 제가 힌트를 하나 드릴테니 잠시 영상을 일시정지해보세요 힌트 : 삼각형의 닮음을 이용하면 됩니다 자 그럼 이제 풀어봅시다 가장 큰 단서는 입사와 반사가 서로 대칭이라는 것입니다 그것들이 서로 대칭이므로 가운데 선을 중심으로 검은색 각이 서로 같을 것입니다 이 두 각이 서로 같으므로 90º에서 검은색 각을 뺀 초록색 각의 크기도 서로 같을 것입니다 이제 초록색 각의 크기가 서로 같다는 것을 알았으므로 우리는 2개의 직각삼각형을 만들 수 있습니다 입사되는 쪽에 큰 직각삼각형이 하나 만들어집니다 위쪽의 변이 당구대의 가로변과 평행하죠 그리고 반사되는 쪽에 직각삼각형이 하나 더 만들어집니다 이 두 초록색 각의 크기가 서로 같다는 것을 보여준 이유는 이 두 삼각형이 서로 닮음이라는 것을 알기 위해서입니다 어떻게 이 둘이 닮음인지 알 수 있죠? 직각과 한 각이 서로 같으면 나머지 한 각도 같게 됩니다 그러므로 두 개의 각을 안다면, 나머지 한 각의 크기도 당연히 알 수 있죠 만약 서로 다른 두 개의 삼각형에서 두 개의 대응각의 크기가 서로 같다면 그 두 삼각형은 닮음입니다(AA닮음) 그러므로 위쪽 삼각형이 아래쪽 삼각형과 닮음입니다 그 사실이 알려주는 것은 두 삼각형의 대응변의 비가 서로 같다는 것입니다 우리가 이 삼각형에 대해 아는 것을 찾아봅시다 저 거리가 x죠. 그럼 x 위의 보라색 길이는 얼마일까요? 잠시 생각해봅시다 우리는 저 거리가 1/4 m 라는 것을 압니다 그리고 당구대 세로길이가 1m 라는 것을 알죠 그렇다면 분홍색 선의 길이는 3/4m 일 겁니다 x와 우리가 구하려는 길이의 합이 3/4m 이므로 보라색 길이는 (3/4 - x)m 입니다 우리는 또 무엇을 알 수 있을까요? 우리는 포켓들이 1m 씩 떨어져 있다는 것을 아니까 색칠한 길이는 1m 가 되겠죠 우리는 또한 위쪽의 색칠한 길이도 알 수 있습니다 꼭짓점에서 포켓까지의 길이인 1m 에 3/4m 를 더한 길이죠 그러므로 1과 3/4, 즉 7/4 m 입니다 좀 있다가 비를 계산해야하기 때문에 모든 분수를 가분수로 적겠습니다 이 두 삼각형이 닮음이므로 대응변의 비가 서로 같아야 합니다 예를 들어 초록색 변은 위쪽 삼각형의 빗변이 아닌 긴 변입니다 이 변은 아래쪽 삼각형의 빗변이 아닌 긴 변과 대응할 것입니다 초록색 각의 반대쪽에 위치한 두 변이 서로 대응한다는 것이죠 그러므로 우리는 7/4 / 1 의 비가 보라색 각의 반대쪽에 위치한 변의 비인 (3/4 - x) / x 의 비와 같다고 할 수 있습니다 대응변의 비가 서로 같다는 것을 이용해 식을 세웠습니다 그럼 이제 x에 대한 방정식을 풀면 됩니다 양변에 x를 곱하면 좌변은 7/4 x, 우변은 3/4 - x 가 됩니다 그럼 이제 양변에 x를 더해봅시다 좌변에 x를 더하면 7/4 x + 4/4 x이므로 11/4 x 가 될 것이고 그것은 우변의 3/4 와 같게 됩니다 ( 11/4 x = 3/4 ) x를 구하려면 우리는 양변의 x 앞의 계수의 역수인 4/11 를 곱해주면 됩니다 그럼 x = 3/11 m가 나옵니다 그러므로 우리가 남동쪽 꼭짓점으로부터 3/11m 위의 지점에 공을 맞힌다면 아래쪽 가운데 포켓에 공을 넣을 수 있을 겁니다