기하학적 활용 문제: 지구 & 달의 반경

지구와 달의 크기는 서로 관계가 있는데 황금비 삼각형을 만듭니다. 파이로 표시되는 황금비는 제곱이 원래수보다 1 큰 성질을 가지는 유일한 숫자입니다. 칸 아카데미에 파이에 대한 동영상이 있으니 보고 오기를 추천합니다. 소름 돋을거에요. 그 동영상을 보고 와서 이 문제를 풀면 더 소름 돋을겁니다. 자, 문제를 봅시다. 파이+1=파이의 제곱 이라고 했어요. 깔끔하죠. 여기 파이가 어떻게 생겼는지 나와있습니다. 파이는 약 1.61803 입니다. 뒤에 소수가 계속 이어집니다. 1을 더하면 1.61803의 제곱인 2.61803 이 됩니다. 이 식의 다른 표현이죠. 피타고라스의 정리를 이 식에 적용해서 각 변의 길이가 파이, 파이 제곱근, 1인 직각 삼각형이 만들어졌다고 합니다. 각 변의 길이가 파이, 파이 제곱근, 1인 직각 삼각형이 만들어졌다고 합니다. 무슨 소리일까요? 이 식은 피타고라스 식이나 피타고리아스 정리처럼 생겼습니다. 이걸 a 제곱, 이건 b 제곱 이건 c 제곱으로 두면 이것이 직각삼각형의 각 변의 길이를 표현한다는 것을 생각할 수 있습니다. 빗변 c는 파이이고 짧은 변 b는 1, 1의 제곱근은 1이죠. 가장 길지는 않지만 빗변이 아닌 변중에 더 긴변은 파이의 제곱근이 되겠습니다. 이것이 문제의 첫째 문장에 나와있는 전부 입니다. 아래에 나와 있듯이, 이건 약간 놀라운데 아래에 나와 있듯이, 지구와 달의 반지름은 파이 비율에 있습니다. 흥미롭네요. 지구의 반지름을 잡으면, 보기 쉽게 다른 색깔로 하죠. 지구의 반지름을 잡으면, 이 반지름입니다. 색깔을 바꾸고 싶은데 약간 문제가 있네요. 여기 지구의 반지름을 잡고 달의 반지름에 더하면 두 반지름의 합이 지구의 반지름과 파이 제곱근 : 1 의 비를 이룹니다. 이건 여러분이 우주에 대해 생각해보게 만듭니다. 이건 여러분이 우주에 대해 생각해보게 만듭니다. 이 동영상을 멈추고 잠시 곰곰히 생각해보세요. 이 진짜 문제에 대해 누가 상관하나요 이제 문제에 답해야겠죠. 근데 이것이 이 현상이 나타나는 유일한게 아니기 때문에 약간 이상합니다. 이 현상은 자연에서도 나타나고 수학에서도 나타납니다. 다양한 이유에서 아주 매력적인 숫자입니다. 약간 괴상하기도 하고요. 어쨋든, 우린 문제를 풀어야합니다. 지구의 반지름이 6,371 km라면 달의 반지름은 얼마입니까? 달의 반지름은 얼마입니까? 이 삼각형을 다시 그려봅시다. km 단위로 그려보죠. 여기에는 측정 단위가 지구의 반지름으로 되어있습니다. 이것이 1 지구 반지름 입니다. 만약 이것이 1 지구 반지름이라면 달과 지구 반지름의 합은 지구 반지름의 파이 제곱근 배 입니다. 이 삼각형의 빗변은 지구 반지름의 파이 배 입니다. 이 삼각형은 지구 반지름 단위로 되어 있습니다. 삼각형을 km 단위로 다시 그려봅시다. 삼각형을 km 단위로 다시 그려봅시다. 삼각형을 km 단위로 다시 그려봅시다. 비슷하게 그리도록 노력하겠습니다. 삼각형을 km 단위로 다시 그리면 이건 대강 그리겠습니다. 여기 지구가 있고.. 지구의 일부를 그리겠습니다. 다 그릴 필요가 없어요. 다 이해할거라고 생각합니다. 그리고 여기 달이 있습니다. 다 이해하죠? 지구의 반지름이 6,371 km 라고 합니다. 그리고 이 직각 삼각형의 높이는 지구 반지름의 파이 제곱근 배 입니다. 따라서 이것을 km 단위로 쓰면 6,371 곱하기 파이 제곱근 km 가 되겠네요. 지구 반지름의 파이 제곱근 배. 이 변의 총 길이입니다. 문제에서 구하라는 것은 달의 반지름 입니다. 이 거리를 구하라는 것이죠. 이 거리를 달의 반지름 r 이라고 합시다. 그럼 r 을 어떻게 구할까요? 우린 이 부분이 뭔지 알죠. 초록색으로 칠하고 있는 이 부분은 지구의 반지름 입니다. 지구는 거의 구입니다. 그래서 이 길이도 역시 6,371 km 라고 할 수 있습니다. 이제 아주 간단한 문제가 되었습니다. 이 반지름의 합을 서로 다른 두 방법으로 쓸 수 있습니다. 달의 반지름 r 에 지구의 반지름 6,371 km를 더한 것이라고 쓸 수 있습니다. 다 km 단위로 쓰고 있습니다. 다 km 단위로 쓰고 있습니다. 또한 이것은 파이 제곱근의 6,371 배 라고 할 수 있습니다. 6,371 곱하기 파이 제곱근 다시 말하면, 반지름의 합은 파이 제곱근 곱하기 지구 반지름 입니다. 여기는 지구 반지름 단위로 되있고 여기는 km 단위로 되있습니다. 이건 지구 반지름이고 파이 제곱근을 곱해서 반지름의 합을 얻었습니다. 이제는 r을 구하기 위해 계산하면 됩니다. 양변에서 6,371을 빼면 r은 6,371 곱하기 파이 제곱근, 빼기 6,371 이라는 식을 얻었습니다. 원하면 두 항에 있는 6,371을 묶어서 원하면 두 항에 있는 6,371을 묶어서 r은 6,371 곱하기 파이 제곱근 빼기 1 이라는 식을 얻을 수 있습니다. 다 했습니다. 이건 꽤 깔끔하고 멋지죠.