기하학적 활용 문제: 황금 비율

여기 초상화가 있는데 1940년 램브란트의 작품이고요 초상화와 관련해서 정말 재미 있는 것은 다른 위대한 예술가들과 마찬가지로 예를 들자면 레오나르도 다빈치나 살바도르 달리와 많고 많은 다른 예술가들 처럼 램브란트는 정말 황금비율이라고 불리는 것을 좋아했다는 것입니다. 그리고 나는 그것에 관한 모든 영상을 가지고 있습니다. 그리고 그것은 이러한 환상적이고 환상적이며 또 환상적인 숫자 그것은 일반적으로 그리스 문자인 파이( )에 의해서 대표된다. 그리고 당신이 만약 그 것을 확장하려고 한다면 그것은 비합리적인 숫자, 1.61803, 그리고 그것(파이)은 영원히 계속되고 계속되어 집니다. 하지만 여기에는 매우 깔끔한 수학적인 특징이 있는데 그것은 파이 혹은 황금 비율의 특징입니다. 당신이 파이로 시작을 하고, 그리고 당신이 파이를 더한다면 이제 이러한 방법으로 시작을 해보도록 합시다. 만약 당신이 1에다 파이분의 1을 더하고자 한다면 제가 좀 더 좋게 파이를 표시하도록 합니다. 당신이 1에다 파이분에 1을 더하면 그 결과는 파이가 됩니다. 그 결과는 일종의 멋진 면이 있습니다. 이제 당신이 이 방정식의 양쪽에 곱하기를 하려고 합니다 파이를 곱하면 당신은 그결는 다음가 같죠, 파이로 시작해서 써본다면 여기에 1을 더하고 이것은 파이 제곱이 됩니다. 그래서 파이에 1을 더한 결과는 파이 제곱이 됩니다. 이러한 결과들은 매우 매우 흥미로운 것이죠. 파이는 심지어 무한히 계속되는 분수로 표현될 수 있습니다. 파이는 1 더하기 1더하기 1더하기 1더하기,,,분에 1로 이렇게 우리는 끊임없이 반복되게 표시할 수 있습니다. 그 결과 값은 역시 파이 입니다. 그러한 것들이 당신에게 작지만 어떤 감동을 주지 않을까 합니다만 이것(파이)는 정말 멋진 숫자 입니다. 그리고 파이는 수학적으로 멋질 뿐만 아니라. 자연의 도처에 나타나 있습니다. 그리고 파이는 예술가들이 관심을 가지고 있었는데 이유는 그들은 파이가 인간의 아름다움을 표시하는데 도움을 준다고 믿었기 때문입니다. 그리고 우리는 램브란트가 정말 이것을 좋아 했다는 것을 알 수 있습니다. 이 작품을 통해서요 그렇다면 우리는 어떻게 설명할 수 있을까요? 자 이것이 우리가 약간 분석을 하려고 하는 것인데 이 동영상을 통해서 말이죠. 우리는 삼각형을 그려 볼 수 있습니다. 분명하게 해야 할 것은 이러한 삼각형들이 그의 원본 그림에는 그려져서는 안되겠습니다만 우리는 이것들을 겹쳐 놓아 보겠습니다. 만약 당신이 기초가 되는 삼각형을 그의 팔이 놓여 있는 오른쪽에 즉 그의 팔이 놓여 있는 곳이죠, 그리고 난후 이 삼각형의 두 빗변을 그어 보면 그의 팔과 어깨들의 외곽선을 따라서 가면 오른쪽 끝에서 만나게 되고 그 점은 이 아치의 윗부분이고 당신은 삼각형 ABD를 그리게 될 것입니다. 그 점은 이 아치의 윗부분이고 당신은 삼각형 ABD를 그리게 될 것입니다. 그리고 당신이 그의 눈으로 가서 보면 당신은 사람의 눈들을 생각하실 것이고 당신은 사람의 눈들을 생각하실 것이고 또는 작품의 얼굴에서 볼 수도 있고요. 만약 당신이 그의 눈을 보고, 그 선상에 선을 그어 본다면 눈들을 연결하는 평행선을 그어 본다면 그것은 선BD와 이렇게 평행선이 될 것이고 여기에 작은선PR 이라고 표시합시다 우리는 여기서 이 비율을 볼 수가 있는데 이작은 삼각형과 이 큰 삼각형사이에 비율을 말하는 것이고 여기에 파이 비율이 나타나게 됩니다. 그래서 이것이 우리가 알고 있는, 우리가 이 그림에 대해서 이야기 하고 있는 것이고 이것은 꽤나 재미 있는 것입니다. 선CD와 선BC의 길이 사이의 비율은 파이대 1입니다. 그리고 당신이 이 큰 삼각형의 높이를 그리게 되면 그 비율, 즉 선CD와 선BD의 비율이 파이가 됩니다. 그래서 분명하게 램브란트는 아마도 바로 이 비율을 생각했다는 것입니다. 더욱이 위는 선PR과 선BD는 평행이라는 것을 알고 있습니다. 우리는 실제로 이렇게 그릴 수 있을 것이고 그래서 바로 여기에 평행한 선이 위치하게 됩니다. 그리고 다음 실마리가 우리에게 알려주는 것은 램프란트가 정말 이것을 생각했다는 것입니다. 선AC와 선AQ의 비율 즉 선AC는 큰 삼각형의 높이 입니다. 선AQ와의 비율은 즉 윗쪽의 삼각형의 높이와의 비율은 파이 더하기 1대 1, 또는 당신은 그 비율을 파이 더하기 1로 말할 수 있습니다. 그래서 램프란트는 분명하게 그것을 생각했을 겁니다. 이제 모든 정보를 이용해 봅시다. 조금 탐험을 더 해보는 것이죠. 자 우리가 이러한 수식을 생각할 수 있다면 삼각형 ABD의 넓이의 비율 즉 큰 삼각형의 넓이의 비율이 삼각형 APR의 넓이와의 비율을 말하는 것입니다. 즉 바로 위에 놓여 있는 작은 삼각형의 넓이죠. 우리는 큰 삼각형의 비율을 알고 싶은 겁니다 작은 삼각형의 넓이와 비교해서 알고 싶고 그리고 나는 파이와의 관계 속에서 그 비유을 계산 할 수 있기를 기대하고 있고, 우리가 여기에 수식을 생각해 낼 수 있다면 단지 파이나 정수 또는 파이를 어떤 식으로 곱하는 방식으로 말이죠. 그래서 저는 당신이 이 동영상을 멈추고 그렇게 해보시기를 바랍니다. 자 이제 조금씩 접근해 봅시다. 삼각형의 넓이는 어떻게 될까요? 삼각형의 넓이는 1/2에 밑변의 길이와 높이를 곱합니다. 그래서 삼각형 ABD의 넓이를 우리는 1/2 곱하기 밑변으로 표시합니다. 밑변은 선분 BD가 됩니다. 즉 BD의 1/2이 됩니다. 자 그럼 높이는 어떻게 될까요? 그것은 선분 AV의 길이 입니다. 선분 BD의 1/2,,,여기에 선분 AC. 자 제가 같은 색깔로 그린다면,,,,, 선분AC의 길이를. 자 이제 넓이는 어떻게 될까요? 이것이 삼각형 ABD의 넓이 입니다. 1/2 곱하기 밑변에 높이죠. 자 이제 삼각형 APR의 넓이는 어떻게 될까요? 역시 1/2에 밑변의 길이를 곱하고, 즉 밑변 PR, 선 PR이고 바로 이 길이가 되는 거죠 여기에 높이를 곱하는데 그것은 선분 AQ의 높이죠. 그래서 선분 AQ의 길이이고, 우리는 선분 AQ의 길이를 곱하는 것을 이렇게 표기합니다. 자 어떻게하면 이것을 약간 간략하게 표시할 수 있을까요? 우리는 상하의 1/2을 약분할 수 있을 겁니다. 이 두 숫자를 지워 버리는 겁니다. 그런데 우리는 또 다른 어떤 것을 알 수 있을까요? 우리는 AC와 AQ간의 비율을 알 수 있습니다. . 즉 AB와 AQ의 비율은 바로 여기에 있죠, 파이 더하기 1 대 1입니다. 또는 이것이 파이를 포함한 식으로 표시될 수 있습니다. 즉 1분에 파이 더하기 1로 표기되는 거죠. 자 이렇게 표기 하도록 합시다. 실제로 이런 식으로 표기를 하겠습니다. 이것은 이렇게 같은 식으로 표기할 수 있으므로,,,우리는 선분 BD를 선분 PR 위에 표기를 하고 그리고 오른쪽 네모 부분을 이렇게 다시 고쳐 쓸수가 있겠죠, 이 부문이 1 분에 파이 더하기 1 이라고요. 그래서 저는 이런 식으로 고쳐 쓰겠습니다. 이렇게 파이 더하기 1, 분모는 1입니다. 자 그럼 BD와 PR의 비율은 무엇일까요? 자 그럼 BD와 PR의 비율은 무엇일까요? 즉 큰 삼각형의 밑변의 길이와 작은 삼각형의 밑변의 길이의 비율을 말하는 것입니다. 자 조금 더 생각해 보도록 합시다. 큰 삼각형에 대해서 어떤 것들이 떠오르시나요? 그리고 작은 삼각형과 그 둘이 닮은꼴 이라는 것에 대해서 말이죠. 그 두 삼각형은 분명하게 각 A를 공통으로 하고 있고, 그리고 PR이 BD와 평행하기 때문에, 우리는 알고 있죠, 이 각이 일치한다는 것을. 그래서 이 두 각은 동일한 각도가 됩니다. 그리고 우리는 이 각도가 일치한다는 것을 알고 있고 바로 이 각도와 같다는 것을 알게 됩니다. 그래서 우리는 세개의 대응 각도를 가지게 되고 그 것들은 모두 합동입니다. 이 두각은 일치하는 것입니다. 이 각도도 바로 이 각도와 일치하고요. 이 각도 바로 저 각도와 일치합니다. 이제 세개의 일치하는 각도가 생기게 되었고, 당신은 두개의 닮은꼴 삼각형을 다루게 됩니다. 그리고 닮은꼴 삼각형이 어떤 점에서 중요한가 하면. 바로 대응하는 부분간의 비율입니다. 이 대응되는 부분의 대응되는 길이들은 이 닮은꼴 삼각형에서 말이죠, 같다는 것입니다. 그리고 그것들은 이 하나의 비율을 우리에게 줍니다. 그것들은 큰 삼각형의 높이의 비율과 작은 삼각형의 높이의 비율 입니다. AC와 AQ의 비율은 파이 더하기 1 대 1입니다. 이것은 (닮은꼴 삼각형의) 일치하는 부분의 정의에 의해서 이 닮은꼴 삼각형의 부문, 이것은 닮은꼴 삼각형의 일치하는 부분이므로 참인 것이고, 그 비율은 파이 더하기 1대 1인 것입니다. 그래서 큰 삼각형의 밑변의 길이인 BD의 비율과 작은 삼각형의 밑변의 길이는 또한 파이 더하기 1 대 1인 것입니다. . 자 이렇게 표기 하기로 합시다. 이 부문 또한 1분에 파이 더하기 1 로 다시 쓸수 있습니다. 그러면 이부분을 단순화 시키면 어떻게 될까요? 자, 파이 더하기 1에 한번 더 1 분에 파이 더하기 1로 표시됩니다. 이제 1을 제거해 봅시다. 값은 변하지 않습니다. 이 값이 같아 지게 되는데, 우리는 이제 마지막 단계로 가고 있습니다.(북을 둥둥 치게 됩니다) 이것은 이제 파이 더하기 1의 제곱이 됩니다. 자 이제 상당히 단순하게 되었습니다. 그리고 저는 지금까지 여러분들이 수고하심을 인정합니다, 이미 파이 더하기 1이 파이 제곱과 같다는 것을 알고 있게 되었고, (비율(분석)에는) 많은 종류의 오묘하고 재미 있는 방식들이 있 으며, 당신은 이 분석을 앞으로도 계속 할 수 있을 겁니다.