유리화를 통한 극한

x가 -1에 가까워질 때 (𝑥+1)/(√(𝑥+5)−2)의 극한을 구할 수 있는지 알아봅시다 맨 처음에는 극한의 성질을 사용하려 할 것입니다 이 식은 lim x가 -1로 수렴할 때의 x+1 을 lim x가 -1로 수렴할 때의 lim x가 -1로 수렴할 때의 lim x가 -1로 수렴할 때의 √(x+5)-2 로 나눈 것과 같을 것입니다 생각해보면 여기 있는 숫자는 x+1은 만약 y=x+1이라는 그래프를 생각해 본다면 어느 점에서든 특히 x=-1에서도 연속할 것이며 따라서 극한을 측정하려면 이 식을 계산할 때 x=-1일 때로 측정해야 합니다 그래서 분자에 있는 값은 -1+1이 되죠 그리고 분모에서는 √(𝑥+5)−2는 모든 값에서 연속하지 않지만 x=-1일 때는 연속하므로 마찬가지의 방법으로 풀 수 있죠 x 대신 -1을 대입할 수 있습니다 따라서 √(-1+5)-2가 됩니다 따라서 √(-1+5)-2가 됩니다 이제 이 값을 구하면 우선 분자는 0이 되고 분모는 -1+5=4이고 제곱근 값이니 2가 되고 거기서 2를 빼서 또다시 0의 값을 얻습니다 그래서 0/0을 얻게 되죠 0/0을 얻게 되죠 여기서 포기하려 할지도 몰라요 분모에 0이 있으므로 극한값은 존재하지 않을 수도 있으니 계산이 끝났다고 생각하겠죠 분자에 0이 아닌 수가 있었다면 0이 아닌 수를 0으로 나누는 거라면 그 값은 정의되지 않으며 극한값도 존재하지 않습니다 하지만 0을 0으로 나눌 때는 이것을 부정형이라고 부르는데 극한값이 반드시 존재하지 않는다는 것은 아니고 이 영상 그리고 많은 후속 영상에서 알게 되겠지만 이것을 다루는 방법들이 많은데 그중 하나를 보겠습니다 다룰 방법은 이 표현을 다른 방식으로 표현해서 0/0을 없애고 극한을 구하는 방법에 대한 것입니다 이 식을 다시 써봅시다 이 식을 다시 써봅시다 여기 있는 이 식을 g(x) 함수라고 합시다 근본적으로 우리가 찾으려고 하는 것은 x가 -1로 갈 때의 g(x)의 극한입니다 그래서 이 식을 g(x)라고 할 수 있는데 그런데 이렇게 하는 이유는 더 명확히 함수로써 보이기 위함이고 함수를 조작하기 위함이며 비슷한 함수를 연상해보기 위함입니다 g(x)=x+1/√(x+5)-2입니다 g(x)=x+1/√(x+5)-2입니다 이제부터 사용할 풀이법은 부정형일 때 부정형이면서 분자 또는 분모에 제곱 근이 있을 때 제곱 근을 없애기 위해 사용하며 이 방법을 유리화라고 부릅니다 이 경우에는 분모에 제곱 근이 있으므로 분모는 유리화되어야 합니다 분모는 유리화되어야 합니다 분모는 유리화되어야 합니다 이것을 풀기 위해선 제곱의 차에 대한 지식을 활용해야 합니다 활용해야 합니다 (a+b)(a-b)가 a²+b²이라는 것을 알고 있습니다 예전에 대수학에서 배운 적이 있죠 또한 √a + b가 있을 때 √a - b를 곱한다면 (√a)²-b가 되어 a-b²이 됩니다 a-b²이 됩니다 그래서 이 방식을 활용해서 밑에 있는 제곱 근을 없앨 수 있습니다 여기서 할 것은 분자와 분모에 √(𝑥+5)+ 2를 곱하는 거죠 √(𝑥+5)+ 2를 곱하는 거죠 √(𝑥+5)−2가 있으니 √(𝑥+5)+2를 곱해야 하는 겁니다 해봅시다 그래서 분모에 √(𝑥+5)+2를 곱하고 분자에도 똑같은 값을 곱해줄 것입니다 이 식의 값을 바꾸어버리면 안 되니까요 이 식의 값을 바꾸어버리면 안 되니까요 값은 1이 됩니다 그 값과 어떤 값을 똑같은 값으로 나누면 1이 되기 때문이죠 그래서 이 값은 √(𝑥+5)+2이고 분자의 값은 (x+1)(√(𝑥+5)+2)가 되고 (x+1)(√(𝑥+5)+2)가 되고 (x+1)(√(𝑥+5)+2)가 되고 (x+1)(√(𝑥+5)+2)가 되고 분모는 분모는 (√(𝑥+5))² 그냥 x+5라고 쓸 수 있죠 그리고 -2²는 -4가 됩니다 그래서 분모는 x+5-4=x+1로 단순화됩니다 그래서 이것은 x+1이 되고 분자와 분모 모두 x+1을 갖고 있다는 것을 의식하셨을 겁니다 그래서 다음과 같이 단순화할 수 있습니다 g(x)=√(𝑥+5)+2 g(x)=√(𝑥+5)+2 여기서 조금 이상하다고 느낄 수 있는데 맞습니다 그 직감은 이렇게 말할 것입니다 이 값이 우리가 x+1을 소거하기 전에 원래 있던 식과 확실히 똑같은 것인가? 원래 있던 식과 확실히 똑같은 것인가? 답은 제가 방금 쓴 방식이 정확히 똑같은 식은 아니라는 것입니다 x=-1일때의 부분을 제외하고는 똑같은 식입니다 여기 이 식은 x=-1에서 정의되지만 여기 있는 식은 x=-1에서 정의되지 않습니다 g(x)가 그렇지 않았기에 g(x)가 그렇지 않았기에 여기 있는 g(x)가 x=-1에서 정의됐다면 x=-1을 대입했을 때 원하는 값을 얻지는 못할 것입니다 따라서 이 식이 완전히 g(x)와 같은 함수가 되기 위해서는 x≠1라는 조건을 붙여줘야 합니다 이 식이 바로 단순화된 g(x) 식입니다 같은 식이죠 g(x)함수에 정의된 어떤 x 대입 값을 여기에 넣어도 같은 결괏값을 얻게 될 것이며 이 조건을 붙여줌에 따라 g(x) 함수와 완전히 같은 정의역을 가지게 되었습니다 여기서 이것이 문제를 푸는데 어떤 도움을 주는지 의문을 가질 수 있죠 x 값이 -1로 갈 때의 극한을 찾고 싶었기 때문에 여기서도 x 값의 조건으로 x≠-1을 붙여야 했습니다 이 극한을 어떻게 보아야 할까요? 다행히 다행히 다행히 또 다른 f(x) 함수를 보았을 때 f(x)가 √(𝑥+5)+2이면 f(x)가 √(𝑥+5)+2이면 x=-1을 제외한 모든 값에서 f(x)와 g(x)의 값은 같다는 것을 알고 있습니다 f(x)와 g(x)의 값은 같다는 것을 알고 있습니다 f(x)값은 x≠1이라는 조건이 없기 때문이죠 이 조건이 두 식에 적용된다면 이 조건이 두 식에 적용된다면 이 조건이 두 식에 적용된다면 이 조건이 두 식에 적용된다면 이것을 적용시켜서 이것을 적용시켜서 이것을 적용시켜서 x가 -1로 갈 때 f(x)의 극한은 x가 -1로 갈 때의 g(x)의 극한과 같다는 것을 알 수 있고 이 값이 원하던 값입니다 문제 맨 처음부터 구해야 했던 식이죠 하지만 이젠 g(x) 함수 대신 f(x) 함수를 쓸 수 있습니다 x=-1에서만 둘의 값이 다르다는 것을 알고 있기 때문이고 g(x)의 그래프를 그려보았을 때 단 하나의 불연속 점이 있기 때문입니다 제거 가능 불연속점이기도 하죠 (removable discontinuity) 다른 말로 하면 여기 있는 불연속점은 x=-1에 있습니다 그래서 극한이 뭘까요? 이게 마지막 단계입니다 f(x)의 극한이 뭘까요? f(x)의 극한이 뭘까요? √(𝑥+5)+2에서 x가 -1로 가까워질 때의 극한이라고 말할 수 있는데 이 식은 연속적입니다 즉 이 함수는 x=-1에서 연속이므로 그냥 x=-1에서의 값을 계산해도 됩니다 그래서 이 값은 √(-1+5)+2가 되고 이 값이√4이며, √4는2가 되므로 식의 값은 2+2=4가 됩니다 따라서 f(x)의 x값이 -1로 갈 때의 극한값이 4이라면 g(x)의 x값이 -1로 갈 때의 극한값도 4가 되고 4가 되고 4가 되고 제가 여기까지 오는데 너무 건너 뛰었다는 의견이 있을 수 있는데 제가 여기까지 오는데 너무 건너 뛰었다는 의견이 있을 수 있는데 생각해 보세요 시각적으로 생각해 보세요 시각적으로 생각해 보세요 여기 y축과 x축이 있다고 할 때 g(x)가 이렇게 생겼다면 g(x)가 이렇게 생겼다면 g(x)가 이렇게 생겼다면 g(x)가 이렇게 생겼다면 g(x)가 이렇게 생겼다면 g(x)가 이렇게 생겼다면 그리고 x=-1에서 공백이 있다면 그리고 x=-1에서 공백이 있다면 f(x)는 이 부분 즉 이 불연속점을 제외하고는 f(x) 의 그래프는 g(x) 그래프와 같은 개형을 가질 것이며 극한을 찾으려고 한다면 그냥 f(x)의 그래프를 사용하여 x=-1에서의 공백을 채우는 방법이 상당히 합당해 보인다는 것입니다 이 그래프가 이해를 도왔으면 좋겠고 더 헷갈리게 한다면 무시하십시오 커넥트 번역 봉사단 | 강규리