약분을 통한 극한

f(x)=x^2+x-6/x-2이라고 합시다 f(x)=x^2+x-6/x-2이라고 합시다 f(x)=x^2+x-6/x-2이라고 합시다 저희는 f(x)가 2에 한없이 가까워질 때 가지는 극한값이 무엇인지 궁금합니다 이런 문제를 봤을 때 가장 먼저 해보고 싶을 것은 이런 문제를 봤을 때 가장 먼저 해보고 싶을 것은 f(2)의 값이 무엇인지 조사해보는 것입니다 이 값이 정의된다 하여도 항상 극한값과 같지는 않지만 시작하기에는 좋은 장소입니다 이 튀어 나올 수있는 합리적인 일이 있는지 확인합니다 그래서 f(2)를 계산해보면 분자에는 2^2+2-6 즉, 4+2=6에서 6을 빼는 것입니다 그래서 분자는 0이 되겠고 분모도 0이 될 것입니다 즉, 이 함수는 x가 2일 때 정의되지 않습니다 즉, 이 함수는 x가 2일 때 정의되지 않습니다 f를 정의되지 단순한 해답이 없는 것 같군요 만약 이 함수가 연속 함수였다면 f(2)의 값이 존재 했을 때 극한값과 함숫값은 같았겠지만 항상 그런것은 아닙니다 이 경우에는 함수가 정의되지 않았다는 것을 확실히 알 수 있습니다 이것을 어떻게 간단히 할 방법을 찾아보고 이 함수의 그래프를 그려보도록 하죠 여러분의 머리에 떠올랐을 수도 있는 생각은 이 분자의 식을 인수분해하는 것입니다 이 식을 다시 쓴다면 이 식을 다시 쓴다면 수학 I의 내용으로 돌아가서 두 수의 곱이 -6이고 합이 3인 두 수, +3과 -2가 될 수 있겠네요 합이 3인 두 수, +3과 -2가 될 수 있겠네요 즉, 이 식은 (x+3)(x-2)/(x-2)로 고쳐 쓸 수 있습니다 즉, 이 식은 (x+3)(x-2)/(x-2)로 고쳐 쓸 수 있습니다 x=2이지 않는 이상 분모와 분자의 x-2는 약분 할 수 있습니다 이 식은 x가 2일 때를 제외한 모든 실수에서 x+3과 같다고 말할 수 있습니다 x+3과 같다고 말할 수 있습니다 x+3과 같다고 말할 수 있습니다 f(x)를 쓸 수 있는 다른 방법은 파란색으로 바꿔서 쓰자면 x가 2가 아닐 때 f(x)=x+3이고 x가 2가 아닐 때 f(x)=x+3이고 x가 2일 때는 정의되지 않는다라고 쓸 수 있습니다 이렇게 보면 f(x)의 그래프를 어떻게 그려야 할지 훨씬 선명해질 것입니다 한 번 시도해보죠 그래서 그 근처 어디 직선 이것을 y축이라고 하고 그리고 여기 이것을 x축이라고 하면 이 함수를 그려보면 f(x)는 x+3이니 y절편이 3이되고 기울기는 1입니다 기울기는 1입니다 그리고 2를 제외한 모든 실수에서 정의되어있죠 그래서 X= 1 , X =2 x가 2일 때 이 함수는 정의되지 않습니다 여기에서 정의 되지 않죠 여기에서 정의 되지 않죠 여기에서 정의 되지 않죠 이것이 f(x)의 그래프입니다 이것을 보고 원래의 질문에 답해보도록 하죠 f(x)가 2에 한없이 가까워질 때 극한값은 무엇일까요? 그래프로 살펴보자면 x가 2보다 작은 값에서 2에 가까워질 때 x가 2보다 작은 값에서 2에 가까워질 때 이것을 1.7이라고 하면 f(x)는 이 곳에 있다는 것을 볼 수 있습니다 1.9로 올라가면 f(x)는 여기있죠 즉, 이 값에 한없이 가까워지는 것 같습니다 이제 2보다 큰 값에서 2에 한없이 가까워진다면 여기가 2.5라고 하면 2.5에서 f(x)는 여기 있습니다 2에 더욱 가까워지면 f(x)는 여기 있습니다 여기서도 이 값에 가까워지는 것 같네요 다르게 생각해보자면 이 선을 양의 방향에서부터 타고 내려오면 이 값에 가까워지고 음의 방향에서 타고 올라와도 이 값에 가까워진다는 것을 알 수 있습니다 바로 여기 a값 그리고 이 값은 x+3이 x=2에서 가지는 값과 동일합니다 그리고 이 값은 x+3이 x=2에서 가지는 값과 동일합니다 즉, 이 값은 5입니다 즉, 이 값은 5입니다 그래프적으로 살펴보자면 기울기 1에 y절편이 3인 직선을 그리면 이 값은 5일 것입니다 숫자만으로도 같은 결과를 얻을 수 있습니다 한 번 시도해보죠 저희의 함수가 이렇게 정의되어있다면 처음 함수와 똑같이 정의되어있습니다 2에 한없이 가까운 x값을 대입해보면 됩니다 2보다 작은 값들로 시작해보죠 1.99999, 너무나 당연하지만 1.99999+3은 5에 엄청 가까울 것입니다 끝에 9를 더 추가할 수록 2에 더 가까워지겠죠 이제 양의 방향에서 2에 가까워지면 다음, 우리는 다시 한 번, 우리는 점점 더 가까이가 있어요 함수는 양의 방향에서 5에 한없이 가까워집니다 2에 더욱 가까운 값을 대입하면 함수는 5에 더 가까워집니다 숫자상으로 보던 그래프상으로 보던 여기 극한값은 5에 가까워집니다