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닫힌 구간에서 최댓값 구하기

동영상 대본

x에 관한 함수 f(x)는 8lnx-x²이고 이때 x는[1,4]에 포함되는 것으로 정의되었습니다 [1,4]는 닫힌 구간으로 1과 4를 포함합니다 주어진 이 구간을 함수의 정의역으로 볼 수 있습니다 주어진 조건을 이용하여 우리가 해야 할 일은 함수 f의 최댓값을 주어진 구간 [1,4]에서 구하는 것입니다 먼저 동영상을 멈추고 스스로 생각해보길 바랍니다 극값 정리를 통해 우리가 알 수 있는 것을 살펴봅시다 닫힌 구간에서 정의된 함수는 먼저 이것을 x축이라고 합시다 그리고 닫힌 구간에서 정의된 함수가 있다고 합시다 이 닫힌 구간에서의 함수의 형태는 몇 가지 경우가 있습니다 첫번째는 구간이 시작되는 점에서 이렇게 최댓값을 가질 수 있습니다 두번째는 구간의 마지막에서 최댓값을 가질 수도 있습니다 구간의 마지막에서 이런 모양일 수 있습니다 또는 구간의 사이에서 이런 형태로 함수의 최댓값을 가질 수 있습니다 이런 모양처럼 이때 최댓값을 가지는 점에서의 접선의 기울기는 0이므로 여기서 도함수의 값은 0입니다 또는 이 사이에서 최댓값을 이렇게 가질 수도 있습니다 이 점에서의 도함수는 정의되지 않습니다 여기에서 여러분이 그릴 수 있는 접선은 굉장히 많이 있다는 것을 알 수 있습니다 이제 우리가 해야 할 일은 다양한 경우를 고려해보는 것입니다 먼저 구간의 끝점들을 살펴봅시다 구간의 시작점에서 함수를 살펴본 후에 이 구간의 끝점에서 함수를 살펴봅시다 그리고 나서 미분했을 때의 그 값이 0이거나 도함수가 정의되지 않은 점들이 있는지 살펴봅시다 그림을 통해 살펴봤듯이 도함수가 정의되지 않은 점은 임계값(뾰족점)이라고 부릅니다 실제로 이 곳 입니다 이것이 발생하는 같은 x의 값을 임계값이라고 합니다 임계값이라고 합니다 여기 다른 숫자들이 있습니다 구간의 사이에서 임계점이 있다고 하면 이 부분처럼 기울기가 0일 수 있습니다 하지만 이 점은 최대도 최소도 아닙니다 그래도 우리가 할 수 있는 것은 먼저 임계점을 찾고 임계점에서의 함수값과 구간의 끝점에서의 함수값을 구한 후에 어떤 값이 가장 큰지 찾으면 됩니다 이 점들이 모두 최댓값을 가질 수 있는 점들이기 때문입니다 늘 해왔던 것처럼 먼저 임계점을 찾기 위해서 주어진 함수 f를 미분해 봅시다 f'(x)는 자연로그를 미분한 1/x에 8을 곱한 8/x에서 2x를 뺀 것입니다 f'(x)=8/x-2x=0이 되는 x를 찾아봅시다 양변에 2x를 더하면 8/x=2x입니다 이제 양변에 x를 곱합니다 그러면 8=2x²이고 양변을 2로 나누면, x²=4가 됩니다 이 방정식을 풀면 x=±2입니다 이 함수는 이 구간 [1,4]에서 정의되었기 때문에 -2는 제외하고 우리는 x=2인 경우만 생각하면 됩니다 이 점이 바로 임계점이 될 것입니다 임계값이 될 수 있는 모든 점을 찾은 것입니다 임계값이 될 수 있는 모든 점을 찾은 것입니다 x=-2를 제외하고 주어진 구간에서 f'(x)=0을 만드는 유일한 수가 x=2입니다 이제 f'(x)가 정의되지 않는 점에 대해 찾아봅시다 만약 여기에서 분모가 0이라면 f'(x)는 정의되지 않습니다 그러나 0은 주어진 구간 [1,4]에 포함 되지 않습니다 그래서 x=2는 이 구간에서의 유일한 임계점 입니다 이제 구간의 끝점에서의 함숫값과 임계점에서의 함숫값을 구해서 이 중에 어떤 값이 가장 큰 값인지 봅시다 먼저 f(1)을 구해봅시다 f(1)=8ln1-1²입니다 f(1)=8ln1-1²입니다 이제 f(4)를 구하면 f(4)=8ln4-4²입니다 4의 제곱은 16입니다 그리고 f(2)값을 구합니다 1과 4는 구간의 끝점이고 2는 임계점입니다 f(2)=8ln2-2²입니다 이 세 값 중 큰 값을 찾아봅시다 계산기를 꺼내야 할 거 같지만 직감을 사용해서 풀 수 있는지 봅시다 e의 0제곱이 1이기 때문에 ln1=0입니다 그래서 8과 0의 곱은 0이고, 이 값은 -1이 됩니다 두번째 값을 생각해봅시다 e가 2.7....이므로 ln4의 값은 1과 2사이의 수가 될 것입니다 그래서 1과 2사이의 값입니다 1과 2사이의 값에 8을 곱하면 8과 16 사이의 값이 됩니다 그리고 나서 16을 빼면 이 값은 -8과 0사이의 값이 됩니다 계산기를 사용하지 않으면 어떤 값이 더 큰지 알 수 없지만 f(1), f(4)의 값은 모두 음수입니다 이제 f(2)를 구해봅시다 ln2의 값은 1보다 작은 값입니다 아마도 1/2보다는 큰 값일 것입니다 이것은 1/2이상이므로 8을 곱하면 4보다 큰 수가 됩니다 그러므로 전체값이 양수입니다 f(1)과 f(4)는 음수이지만, f(2)는 양수입니다 이 세 값은 최댓값을 가질 수 있는 유일한 후보들이므로 f(2)를 최댓값으로 선택하면 됩니다 우리가 구해야하는 최댓값은 x=2일 때의 값으로 8ln2-4입니다 이것이 최댓값입니다 주어진 함수의 정의역인 [1,4]에서의 최댓값입니다 계산기로 맞는지 확인해봅시다 f(1)의 값은 이미 알고 있으므로 f(4)를 계산하면 8ln4-16 약 -5정도가 나옵니다 이 값은 절대 최댓값이 아닙니다 그리고 f(2)는 8ln2-4 우리가 살펴보았듯이 양수입니다 우리가 계산한 것이 맞았습니다