최대 & 최소 (정의역 전체)

여기에 g(x) = x²In(x)라는 함수가 있습니다 이 함수가 가질 수 있는 최댓값이나 최솟값을 구해보려고 해요 다시 말해 g가 최댓값과 최솟값을 갖게 하는 x값을 구해 볼 겁니다 최댓값과 최솟값은 극댓값와 극솟값이 될 수도 있을텐데요 우선은 g가 정의되는 영역을 알아봅시다 In(x) 에서 x에 대입하는 값은 0보다 커야합니다 g(x)의 정의역은 모두 0보다 큰 실수이므로 x은 0보다 커야합니다 그 이외의 것을 대입할 때 함수는 정의되지 않아요 음수의 로그값 또한 정의될 수 없죠 결국 이 함수의 정의역은&nbsp;0보다 큰 모든 실수이므로 최댓값이나 최솟값도 이 영역안에 존재할 것입니다 이제 극값을 찾아 그 중에서 최댓값과 최솟값을 구해봅시다 우선 g의 도함수를 구해서 임계점과 임계값을 보고 극값을 알아봅시다 색깔을 바꾸고 곱의 미분법을 이용하여 g'(x)을 구해볼게요 x²를 미분하면 2x이고 2x에 ln(x)를 곱한 후 x² × 1/x를 더하면 2x + x² × 1/x가 됩니다 x² × 1/x x가 양수라고 가정해봅시다 사실 지금 굳이 양수라는 가정이 필요하지 않겠네요 x²/x는 양수 음수에 관계없이 x가 되니까요 g'(x)를 구해봤어요 이제는 임계점을 살펴봅시다 임계점은 도함수에서 x > 0 인&nbsp;정의역 범위&nbsp;안에 존재할 것입니다 g'(x)가 정의되지 않거나 g'(x)값이 0일 것이니까요 먼저 g'(x) = 0인 경우를 봅시다 g'(x) = 0이라고 가정하면 2xIn(x) + x = 0 양변에서 x를 빼면 2xIn(x) = -x가 됩니다 정의역이 0보다 큰 실수이므로 양 변을 x로 나누어도 식이 성립합니다 이제 양변을 2x로 나누면 In(x) = -1/2이라는 식이 나옵니다 -x/2x는 -1/2 이죠 그렇다면 x는 e(-½)과 같게 됩니다 자연로그는 밑이 e인 로그값과 같아요 e(-½)은 1/√e라고도 할 수 있습니다 이 점이 g(x)의 도함수 값이 0이 되어 g(x)가 임계점 또는 임계값을 갖게 됩니다 그 점이 g'(x) = 0이 되는 유일한 곳입니다 g'(x)값이 정의되지 않는 또 다른 점이 있을까요? 함숫값이 확실하지 않은 정의역 값들을 찾아봅시다 2x에서의&nbsp;x는 어떤 x에서도 존재하고 In(x)는 x > 0에서만 존재합니다 그 범위는 아까 구했던 정의역과 같죠 x > 0 인 정의역 안에 도함수의 모든 점이 존재합니다 이 임계점의 반대편 상황은 어떨지 살펴봅시다 쉽게 보기 위해서 수직선을 그려볼게요 여기에 -1과 0이 있고요 1을 넘는 부분도 있고 이 곳은 1보다 약간 작겠지요 여기를 1이라고 하고 여기에 2라고 쓰면 1/√e에서 임계점을 가질 것입니다 1/√e는 이쯤 되겠죠 아까 말했듯이 모든 x는 0보다 커야해요 그러면 이제 0과 이 임계점 사이의 구간을 살펴볼게요 여기 이 (0, 1/√e)이라는 구간에서 g'(x)의 부호를 판단하고 그 다음에 x > 1/√e일 때를 생각해봅시다 다시 말해 (1/√e, ∞) 의 구간이요 그럼 지금부터 노란색 구간에서의 함숫값을 구해봅시다 g'(0.1)는 이 구간에 있을 겁니다 g'(x)식에 대입하면 2 × 0.1은 0.2&nbsp;× In(0.1) + 0.1 이라는 식이 되네요 다음으로 이것의 값은 음의 값이 나올텐데요 -1보다는 무조건 클 것입니다 왜냐하면 e^(-1) 1/e이고 이는 1/2.7와 같기 때문에 약 0.3 또는 0.4가 되니까요 0.1을 구하기 위해서는 이 것이 약 0.3이므로 더 작은 값을 가져야 합니다 결국 -1보다 작다고 할 수 있죠 이 것이 -1보다 작고 0.2를 곱해주면 0.2보다 작은 음수가 될 것이고 여기에 0.1을 더해주어도 음수 값을 가질 겁니다 결국 이 노란색 구간에서 g'(x) < 0가 되죠 계산기를 이용하면 더 쉬울텐데 이 구간에서는 g'(x)이 0보다 작아요 이제 파란색 구간을 살펴볼게요 1을 대입하면 g'(1)는 2&nbsp;× 0.1와 같습니다 In(1)은 0이기 때문에 이 식이 1이 되겠죠 이 파란색 구간에서 g'(x)&nbsp;> 0인 것을 확인했습니다 이 함수의 그래프는 (0, 1/√e)에서 감소하다가 1/√e 이후에 증가합니다 1/√e보다 큰 모든 x값에서 증가하죠 이렇게 함수의 그래프가 감소하다가 증가하면 x = 1/√e일 때 최소점을 가질 것입니다 다시 적어보면 1/√e에서 최솟값을 가지고 최댓값은 없습니다 1/√e의 점 위에서는 그래프의 개형이 어떤지 봐볼게요 1부터 함수는 계속해서 증가해 무한대로 갑니다 x²의 경우에는 무한대로 가고 In(x)는 x²보다 느리게 증가하지만 이것 또한 무한대를 향해서 갈 것입니다 그래서 이 구간에서 최댓값이나 최솟값은 존재하지 않아요 그래프로 나타내지 않고 도함수를 통해 극값을 추정한 과정을 확인하기 위해 이제 그래프를 그려봅시다 미리 그려 놓은 그래프를 가져올게요 이것이 함수식의 그래프예요 정확하진 않겠지만 이 점이 x값이 1/√e라고 가정하면 x = 1/√e 이곳이 최소점이고 최댓점은 없다는 것을 알 수 있습니다 이 함수는 얼마든지 큰 값을 가질 수 있다는 겁니다 커넥트 번역 봉사단 | 이예운