매개변수 방정식의 미분

여기에 있는 것은 t로 정의된 x와 t로 정의된 y이고 모든 t값들을 넣어 그래프로 도식화한다면 바로 이런 꽤나 멋있는 그래프를 얻게 됩니다 시도해보세요 t가 0일 때 x와 y가 몇인지 구하고 t가 1일 때 x와 y를 구하고 그리고 모든 다른 t들도 넣어보세요 그러고 나면 이 멋진 그래프를 얻게 됩니다 그러나 이 영상의 목표는 매개 함수로 나타낸 함수나 곡선의 멋있음을 느끼는 것이 아닙니다 대신 우리는 계산을 할거고 정확히 말하자면 도함수를 구해볼겁니다 우리는 x에 대한 y의 도함수를 찾으려 합니다 x에 대한 y의 도함수 t값이 －⅓일 때의 것으로요 t값이 －⅓일 때의 것으로요 t값이 －⅓일 때의 것으로요 만약 여러분이 그러고 싶다면 저는 멈추고 한 번 풀어볼 것을 추천합니다 이제 제가 여러분과 같이 풀어볼 겁니다 여러분이 이미 풀었거나 아니면 그냥 제가 풀어주길 바라건 간에요 그래서 핵심은 어떻게 x에 대한 도함수를 찾아낼 수 있는가 입니다 x와 y 둘 다 t로 정의되어 있을 때의 x에 대한 y의 도함수를요 이를 위해 반드시 알아둬야 하는 것은 x에 대한 y의 도함수가 t에 대한 y의 도함수가 분자이고 t에 대한 x의 도함수가 분모인 분수와 같아진다는 겁니다 도함수들을 숫자처럼 보면 실제로 수학적으로 성립하는 것을 볼 수 있죠 이런 방식으로 하는 것이 조금 엄격하지 않기는 합니다만 그래도 이렇게 하면 그래도 이렇게 하면 무언가에 대한 또 다른 무언가의 도함수는 t에 대한 y의 도함수가 분자이고 t에 대한 x의 도함수가 분모일 때와 같습니다 자 그럼 이게 우리를 어떻게 도와줄까요? 우리가 할 수 있는 것은 t에 대한 x의 도함수와 t에 대한 y의 도함수를 구할 수 있습니다 t에 대한 x의 도함수는 다음과 같습니다 안쪽에 대한 바깥쪽의 도함수는 다음과 같아집니다 다음과 같아집니다 2cos(1+3t) 그리고 t에 대한 안쪽의 도함수를 곱합니다 그 값은, 1의 도함수는 0이고 3t의 t에 대한 도함수는 3입니다 따라서 3을 곱해주고 그것이 t에 대한 x의 도함수입니다 여기엔 단순히 연쇄 법칙이 사용되었습니다 안쪽에 대한 바깥쪽의 2sin(x)의 도함수 즉 이 (1+3t)에 대한 바깥쪽의 2sin(x)의 도함수가 바로 저기있는 저것이고 그리고 t에 대한 안쪽의 도함수는 바로 3이죠 t에 대한 y의 도함수는 좀 더 간단합니다 t에 대한 y의 도함수에는 그냥 다항식의 미분을 사용합니다 3×2는 6이고 t의 (3－1)제곱인 6t²입니다 그러므로 이것은 6t²을 6t²을 분자로 하고 여기에 2×3이 있으므로 우리는 분모로 6cos(1＋3t)를 갖습니다 그리고 6들은 약분되고 남아있는 것은 t²이 분자로 남고 cos(1＋3t)가 분모로 남습니다 그리고 t가 －⅓일 때를 구해보면 t가 －⅓일 때에는 그 값은 그 값은 (－⅓)²이 분자이고 (－⅓)²이 분자이고 (－⅓)²이 분자이고 (－⅓)²이 분자이고 (－⅓)²이 분자이고 분모가 cos인데 3×(－⅓)은 －1입니다 그러므로 이것은 1＋(－1)이고 즉 분모는 cos(0)입니다 그리고 cos(0)은 1이 됩니다 그러므로 이 값은 양수 1/9입니다 이제 이 그래프에서 일어나는 일을 시각화할 수 있을지 봅시다 여기에 작은 표를 하나 그려봅시다 표를 구성하면서 t, x와 y에 대해 생각할 겁니다 t, x, y t가 -⅓일 때 x는 바로 sin(0) 즉 x는 0이 됩니다 그리고 y는 －2/27이 됩니다 그러므로 우리가 얘기하는 것은 점 (0,－2/27)에 대한 것입니다 그건 바로 저기있는 저 점이죠 저 점이 바로 우리가 접선의 기울기를 찾으려 했던 점입니다 그 기울기는 1/9라고 나와있고 기울기가 1/9이라는 것을 알 수 있는 하나뿐인 방법은 4칸, 하나, 둘, 셋, 넷과 그리고 위로 반만큼 더 올라가서 제가 저기에 접선을 긋는다면 그것은 아마 무언가 이렇게 생긴 것일 겁니다 무언가, 무언가, 무언가 이렇게 생긴 것 하나, 둘, 셋, 넷 그리고 반을 가면 저것이 꽤 비슷하네요 그러므로 저게 우리가 구한 답입니다 우리는 접선의 기울기를 구했습니다 저 점에서 1/9이죠 이렇게 하니 보기 깔끔할 뿐만 아니라 꽤 유용하군요