매개변수 방정식이란?

여기에 절벽이 있다고 가정해봅시다 그리고 이 절벽은 잘 모르지만 50m정도 높이가 된다고 해봅시다 그리고 이 절벽 위에 자동차가 있습니다 그리고 이 자동차는 가만히 있지 않습니다 이 자동차는 움직이고 있다고 합시다 매우 드라마틱한 문제군요 그래서 이 자동차는 여기에 있다고 합시다 그리고 이 자동차가 절벽에서 5m/s로 떨어진다고 합시다 그리고 저는 자동차가 절벽에서 떨어질 때 이 자동차의 경로를 알아보려고 합니다 이제 여기에 좌표를 그려봅시다 이 축을 y축이라고 한다면 이 축은 x축이 될 것입니다 그래서 이 것이 y, 이것이 x입니다 이게 점이라고 하면 이 점은 절벽의 높이가 50m에 있는 것입니다 y값이 0이라면 수면과 같은 상태이고 그래서 50m가 바로 여기가 됩니다 그리고 절벽 위에 있는 점은 x값이 10이 됩니다 그래서 여기 있는 점은 10,50이 됩니다 자동차가 이 점에 있다고 한 후 절벽에서 떨어진다고 합시다 그리고 이 때의 시간은 0입니다 이 말은 시간이 0이라는 뜻인데 여기서의 시간을 t라고 나타내겠습니다 시간은 0과 같습니다 그래서 제 질문은 이 차가 절벽에서 떨어지면 무슨 일이 일어납니까? 이 것은 약간의 물리문제에 관한 것인데 저는 물리에는 깊게 들어가지 않겠습니다 그리고 저는 공식들을 증명하지 않을 것입니다. 만약 여러분이 공식에 대해 알고 싶으시면 저는 여러분이 운동학에 관한 영상, 던져진 물체에 대한 영상을 보는 것을 장려합니다 하지만 여기 있는 점은 그저 공식을 알고 어떤 그래프를 띄는지를 알아보려는 것입니다 그래서 만약 제가 x를 시간에 관한 함수로 알고 싶다면 과연 x를 시간으로 나타낸 함수는 어떻게 될까요? 우리는 공기가 하나도 없는 행성에 있다고 가정해봅시다 우리는 청소기 안에 있는 거예요 오른쪽 x방향으로 5m/s 출발한다면 우리는 공기, 마찰, 혹은 다른 것들로 인해 속도가 감속하는 일은 없을 것입니다 뉴턴의 운동법칙: 물체가 운동을 할 때 아무런 힘을 받지 않으면 그 운동상태를 유지한다 그리고 x방향으로는 아무런 힘이 작용하지 않습니다 이 자동차는 계속 오른쪽으로 5m/s로 움직이려고 할 것입니다 그리고 위치 혹은 거리는 속도와 시간을 곱한 것과 같습니다 우리의 속력인 5 곱하기 시간이 됩니다 그리고 당연히 x가 0인 경우 시작을 하지 않습니다 이 것은 시간이 0과 마찬가지이기 때문입니다 그래서 이 것은 x가 10일 때부터 시작합니다 그래서 여러분들은 시작하는 점의 x가 0일 때의 한 부분이므로 10을 더해야 합니다 이러한 부분이 여러분에게 직관적일 수도 있지 않나요? 그리고 시간은 0이므로 x가 10인 곳에서 이 말은 무효가 됩니다 이 것은 성립하게 됩니다 시간이 1인 경우, 우리는 조금 우리는 5m정도를 나가게 될 것입니다 이 정도면 됐죠. 이것은 x를 매개 변수와 시간으로 나타낸 거죠. 아시겠지만, 이 비디오는 매개변수 함수에 대한 것이지, 함수에 대한 것이 아니에요. 그니까 매개 변수가 무엇인지 알아둬요. 매개 변수 그리고 시간이 대부분 사람들이 매개변수 방정식 얘기를 할때의 매개변수일 거에요. 물론 아무거나 될 수 있지만요. 이 것은 반지림이 될 수도 있고 각이 될 수도 있고 다른게 될 수도 있어요. 그러면 y를 시간에 대한 함수로 알아보죠. 시간에 대한 함수, y는 초기 y의 위치와 같을 것인데, 즉 y=0 이는 50이죠. 우리는 상공 50m에 있어요. 거기에다가 y 방향의 초기 속도를 더해요. 초기 속도가 실제로 y방향으로는 없어요. 차는 뛰거나 다이빙하고 있지 않잖아요. 그냥 수평으로 오른쪽으로 움직여요. 그리고 이를 지탱하고 있는 절벽이요. 그니까 y 속도가 없는 거죠. 만약 궁금하다면, y 속도 곱하기 시간이 될 거에요. y속도가 없으니까, 최소한 처음에는, 여기에 아무것도 안쓸게요. 거기에다가 중력 가속도 곱하기 곱하기 제곱이요 우리는 여기에서 사인값을 찾고 싶어요. 여러분께 알려드리자면, 여기에서 조금의 물리를 더하는것도 나쁘지 않는데, 이는 여러분께 이러한 공식들이 어디에서 오고 여러분이 실제로 매개변수 방정식을 언제 쓸지 알려주기 위해서요. 예를 들면, 중력은 아래 방향으로 작용하는데 아래방향은 -y 방향임을 이야기해요. y는 줄고 있어요. 실제로.. 중력은 대부분 교과서에서 9.8m/초 제곱이에요. 이를 단순화하는 것은, 우리는 10m/초 제곱이라 할게요. 이것이 모든 것들이 아래 방향으로 가속될 속도를 의미해요. 공기가 없으니까, 이 행성이 지구보다 좀 더 질량이 크다 생각해요. 아래로 가고 있으므로 방향은 음의 방향이에요. 여기에서의 공식을 보면, 우리의 초기 위치에서 우리는 속도 곱하기 시간이 없었으니까 여기에 안 쓸게요. -10m/초 제곱 곱하기 t 제곱 나누기 2 그리고 발사체의 움직임 비디오를 제가 어떻게 구했는지를 보기 위해 볼 수 있어요. 그러나 이것의 요점은 아니에요. 이것의 요점은 차에 어떤 일이 일어나는지를 보고 매개변수 등식에 대해 알아보는 거에요. 그니까 이 차가 절벽에서 떨어지면 어떤 경로로 떨어지게 되는 거죠? 여기에 표를 만들어봐요. x와 y는 매개변수 t에 대한 함수에요. 그니까 우리는 t를 다른 값으로 설정할 것이고 우리는 x와 y가 각각 무엇과 같은지 알아볼 거에요. 그리고 저는 제 맘대로 t를 골라볼거에요 t는 0이에요. t는 1, 2, 3과 같아요. 이 시간이 0과 같으면 x가 뭘까요? x..0은 10m와 같아요. 시간이 1이면 x가 뭐에요? 이것은 1에 대한거 맞죠? 우리는 이렇게 쓰고 싶으면, 즉 5 곱하기 1은 5 더하기 10은15 2번째 x는? 5 곱하기 2 더하기 10은 20이에요. 이것은 말이 되죠. 매초 우리는 오른쪽으로 5 더 가는게용. x가 5m씩 늘고 있다 할 수 있죠. t=3과 같으면, 15 더하기 10은 25에요. 쉽죠. y는 좀 더 복잡해요. 이를 단순화하기 위해서, 얘는 5와 같은 거죠? 10 나누기 2 즉 50-5t제곱 이것은 0과 같으므로 없어져요. 우리는 50m 상공이 있는 거죠. 시간이 1이면 1의 제곱 고하기 5는 5에요. 50 빼기 5는 45, 상공 위 5m에요. 맞죠? 네 맞죠, 곱하기 1은 50 맞아요. 시간이 2이면 2 제곱은 4에요. 4 곱하기 5는 20 50 빼기 20은 30 마지막으로 시간이 3이면 마지막이라 하는 것은 우리가 고른 마지막 수이기 때문이에요. 이는 3과 같은데 3의 제곱은 9 9 곱하기 5는 45 50 빼기 45는 5 이 점들을 찍어봐요. 시간이 0과 같을때 우리가 여기 있는 거에요. 시간이 1과 같을 때, x는 151와 같아요. 이는 대략적으로, 5, 10, 15.. 더 하자면 15, 20, 25..죠 y축, 이를 이름붙이자면 대략적으로 10, 20, 30, 40, 50 시간이 0일 때 우리는 10, 50이에요. 이 점이죠. 1과 같을 때 15, 45 x는 15, y는 45면 여기겠네요. 이것은 t가 1일 때에요. 시간이 2일때, 좌표가 20, 30일때 여기겠네요. 이는 시간이 2일 때에요. 시간이 3이면 우리는 25, 5에요. 바로 여기죠. 우리가 계속 가다보면 언젠가는 땅에 닿게 될거에요. 실제로 이를 0과 같다 하면 땅에 다다들 시간을 알 수 있어요. 이걸 해보도록 하죠. 이것이 0, 50과 같으면 t는 루트 10과 같아요. 이는 3초보다 조금 더 커요. 말이 되죠? 3초보다 조금 더 될 때 우리는 땅에 닿을 거에요. 그나저나 차는 어디로 가나요? 이렇게 생기지 않았을까요? 어어 아래로 가속되네요 그리고 주저앉네요! 3점 몇초에 바닥에 닿아요. 여기에서 흥미로운 것은 매개변수를 세워서 우리는 곡선을 구하고.. 포물선의 반쪽짜리 곡선이요! 아래쪽으로 굽은 포물선의 반쪽을 찾았고 실제로 t를 없앨 수 있고, 이 포물선에 대한 식을 구할 수 있어요. 미래에는 그렇게 할거에요. 여기에서 흥미로운 것은, 이를 매개변수 방정식으로 만들어 우리는 차의 방향을 알게 되었어요. 차랑 그런거 없이 그래프를 봤으면 어느 방향으로 떨어지는지 몰랐을 거에요. t가 증가하고 있다는 것을 알고 나서 우리는 그 방향으로 가고 있어요. 우리는 여기에서 화살표를 그릴 수 있어요. 매개변수 방정식이므로, 우리는 화살표를 그릴거에요. 가장 중요한 것은 우리가 정확히 차가 어느 시간 t에 있을지 알아보는 거에요. t는 1.25 초로 대체하더라도 정확하게 차가 어디있는지 알게 될거에요. 이러한 점들을 찍고 시간이 지날수록 아래로 가속된다는 것을 알 수 있죠. 그래서 초가 지나갈수록, 특히 y 거리가 점점 멀어질수록 그나저나 이 예를 들어주고 싶었어요. 물론 좋은 물리 문제지만, 처음 제 의도는 물리를 가르치려는게 아니였어요. 원래 의도는 매개 변수 식이 왜 존재하는지에 대해서 제시해주려는 거였어요. 이 두개가 매개변수 등식이에요. x와 y를 y는 x, 아니면 x는 y가 아닌 다른 매개 변수인 t를 통해서 나타냈고 좀 특이하게 한 것이죠. 매우 유용해요! 그니까 실제로 어려운 물리에서도 이렇게 삼차원적 공간에서의 위치를 찾고 싶으면 x를 t, y를 t, 그리고 z를 t에 대해서 정보가 이미 있기 때문에 쉬울 거에요. 이런 재미있는 문제들이 매개 변수 방정식 이용해서는 많아요. 그저 물리에서 뿐만 아니라요. 그나저나 이런 동기를 주는 것이 시작하는데에 좋을 거라 생각했어요. 왜냐하면 제가 처음 매개변수 방정식을 배웠을땐 x와 y에 대한 쉽고 간단한 제 세계를 왜 세번째 매개변수인 t를 도입하면서 혼란에 빠뜨리냐? 이것이 그 이유에요. 무언가의 경로를 알 수 있다는 거죠. 곡선을 따라 움직이는 무언가의 방향을 알 수 있고, 그것의 정확한 위치를 어느 시간에든 알 수 있어요.