삼각함수 덧셈정리 사용하기: 식 활용하기

"cos(2θ) = C이고 θ는 0 ≤ θ ≤ π라는 조건을 만족할 때 sin(θ)를 C로 나타내어라"라는 문제입니다 이제 이 비디오를 잠시 멈춘 후 문제를 스스로 풀어보도록 합시다 그럼 이 문제를 풀었다고 생각하고 풀이를 진행하겠습니다 여기에 문제를 그대로 적어 놓았습니다 그럼 이제 풀어 봅시다 cos(2θ) = C라고 했습니다 그럼 이걸 다른 방식으로 고쳐봅시다 C = cos(2θ)입니다 삼각함수의 덧셈정리를 떠올려 봅시다 cos(α+β) = cosα <i> cosβ - sinα </i> sinβ이라는 것을 알고 있죠? 이걸 왜 언급했냐면 2θ라는 것은 θ+θ로 나타낼 수 있으므로 cos(2θ)를 cos(θ)와 sin(θ)로 정리하고 다시 sin(θ)의 형태로 정리할 수 있기 때문입니다 그럼 이걸 정리해보도록 하죠 C = cos(2θ) = cos(θ+θ)이죠 cos(θ+θ)는 다시 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 C = cos(θ+θ) = cos(θ) <i> cos(θ) - sin(θ) </i> sin(θ)이고 C = cos(θ+θ) = cos²(θ) - sin²(θ)이 됩니다 그럼 이제 C가 cos²(θ)와 sin²(θ)의 형태로 변형되었습니다 하지만 문제를 풀기 위해서는 sin(θ) 만으로 나타내는게 좋겠습니다 그럼 C = cos²(θ) - sin²(θ)를 다시 sin(θ)에 관한 식으로 고쳐 보겠습니다 cos(θ)를 sin(θ)로 나타낼 수 있어야 합니다 그런데 피타고라스 정리를 생각해 봅시다 cos²(θ) + sin²(θ) = 1이라는 등식이 성립하게 됩니다 그럼 이걸 다시 cos²(θ) = 1 - sin²(θ)라는 식으로 만들어 줄 수 있습니다 이걸 C = cos²(θ) - sin²(θ)라는 식에 대입하게 되면 C = 1 - sin²(θ) - sin²(θ)가 되고 C = 1 - 2sin²(θ)가 됩니다 이걸 다시 sin(θ)로 풀어야 하므로 양변에 ( - 1 )을 곱해서 정리하면 - C = 2sin²(θ) - 1이 되고 양변에 ( + 1 )을 더해줍시다 그럼 1 - C = 2sin²(θ)이라는 식을 얻게 되고 다시 양변을 2로 나누어 주게 되면 그럼 sin²(θ) = (1 - C)/2라는 식을 얻게 됩니다 이제 sin(θ) = ± sqrt{(1 - C)/2}로 나타낼 수 있게 됬습니다 그럼 이제 한 가지 의문이 생깁니다 그럼 sin(θ)는 양수와 음수 둘 다일까요? 아니면 하나만 맞는 것일까요? 아직 알아내지 못했다면 비디오를 잠시 멈추고 생각해 봅시다 여기를 보면 양수 또는 음수 중 어느 것을 골라야 하는지에 대한 정보가 이미 주어져 있습니다 θ는 0 ≤ θ ≤ π라는 조건 이므로 여기에 단위원을 그려 보겠습니다 범위는 0(radians)에서 π(radians)입니다 이쪽 방향은 0 rad를 의미합니다 그리고 π rad는 이쪽 방향입니다 그럼 θ라는 각은 여기서 제 1 사분면 또는 제 2 사분면 위에 놓이게 됩니다 그럼 이런 각이 그려질 수도 있고 이런 각이 그려질 수도 있습니다 하지만 이런 각은 그려질 수 없습니다 그리고 어떤 각의 sin값은 y 좌표이므로 제 1 사분면 또는 제 2 사분면에 위치하는 y값은 음수가 아님을 알 수 있습니다 그래서 우리는 sin(θ) = ± sqrt{(1 - C)/2}라는 식에서 양수인 sin(θ) = sqrt{(1 - C)/2}만을 골라야 한다는 것을 알 수 있습니다 그럼 답을 확인해 봅시다 sin(θ) = sqrt{(1 - C)/2}입니다 정답입니다