덧셈정리로 삼각함수의 값 구하기

이번 수업시간에는 sin(7π/12)를 계산기 없이 구해보겠습니다 단위원에서 7π/12를 상상해봅시다 각의 한쪽은 양의 x축이 됩니다 그러면, 봅시다 위로 가면 사잇각은 π/2가 되며 이는 6π/12와 같습니다 이제 π/12를 더해 여기에 도달해야 합니다 이 각이 우리가 찾는 각도 7π/12입니다 sin값은 단위원에서 사인의 정의를 생각하면 반직선과 단위원의 교점의 y좌표입니다 단위원은 반지름이 1이며 이 선분과 만납니다 y좌표가 sin값이 됩니다 다른 방법으로 생각하면 이 부분은 해당 선분의 길이가 됩니다 영상을 잠시 멈추고 혼자 풀어보기 바랍니다 삼각함수의 성질을 이용해 sin(7π/12)의 값을 구하거나 자홍색 선분의 길이를 구합니다 직접 풀어보기 바랍니다 저와 접근 방법이 같다면 아마 첫번째 유혹은 이 삼각형에 집중하는 것입니다 여기에 그리겠습니다 삼각형은 이렇게 생겼습니다 삼각형은 이렇게 생겼습니다 이제 구해야 할 것은 이 선분의 길이인 sin(7π/12)입니다 빗변의 길이가 1임을 알고 있습니다 이는 단위원의 반지름과 같습니다 직각삼각형입니다 또한 우리는 이 각을 알고 있습니다 이 각과 같으며 6π/12에 π/12를 더하므로 각의 크기는 π/12임을 알 수 있습니다 π/16이 아닙니다 이 각의 크기가 7π/12임을 알고 있습니다 이 사실로부터 이 길이를 구하거나 각에 대한 삼각함수를 이용해 두 변의 관계를 찾을 수 있습니다 이 선분은 밑변이 됩니다 cos(π/12)는 자홍색 선분/1이 됩니다 자홍색 선분의 길이라고 할 수도 있습니다 이 길이는 cos(π/12)입니다 sin(7π/12)는 cos(π/12)와 같다는 것을 알아냈습니다 여전히 부족합니다 계산기를 쓰지 않고 cos(π/12)의 값을 바로 구할 수는 없습니다 이 방법으로 생각하는 대신에 이 각을 합성하거나 또는 이 각을 sin값과 cos값을 아는 각들로 분해할 수 있습니다 이 각은 얼마일까요? 특수한 직각삼각형의 각도입니다 예를 들어 우리는 30-60-90 삼각형에 대해 익히 알고 있습니다 30-60-90 삼각형은 이렇게 생겼습니다 그릴 수 있는 최선입니다 30도라고 쓰는 대신에 라디안으로 생각합니다 π/6 라디안으로 쓰겠습니다 60도 쪽은 π/3라디안으로 쓰겠습니다 물론 이 각은 직각입니다 빗변의 길이가 1이면 30도인 각의 대변은 π/6인 각의 대변은 길이가 빗변의 절반이 되며 이 경우 1/2입니다 60도인 각의 대변은 π/3인 각의 대변은 짧은 변의 √3배이며 √3/2이 됩니다 우리는 cos30도와 cos60도의 값을 구하기 위해 이러한 삼각형들을 활용했습니다 이 경우에는 π/6와 π/3라고 쓰겠습니다 우리는 π/6과 π/3을 알고 있습니다 또한 45-45-90 삼각형이 직각이등변삼각형임을 알고 있습니다 이렇게 생겼습니다 제가 그릴 수 있는 최선입니다 원하는 모양이 나오지 않았습니다 다시 그리겠습니다 직각이등변삼각형에 가까워졌습니다 빗변의 길이가 1임을 알고 있고 이로부터 피타고라스의 정리를 얻을 수 있습니다 따라서 나머지 두 변의 길이는 빗변의 √2/2배가 됩니다 즉 √2/2가 됩니다 도 단위인 45도로 나타내는 대신에 π/4와 같음을 알고 있으므로 π/4 라디안으로 씁니다 π/6, π/3, π/4가 주어지면 고전적 정의 대신에 이 삼각형들을 활용합니다 또는 단위원에 삼각형을 붙여 단위원에서의 삼각함수의 정의를 이용해 이 각들의 sin, cos, tan값을 구합니다 7π/12를 분해해서 π/6, π/3, π/4의 결합으로 나타낼 수 있을까요? 생각해봅시다 π/6, π/3 그리고 π/4를 분모를 12로 하여 다시 써보겠습니다 π/6는 2π/12와 같고 π/3는 4π/12와 같고 π/4는 3π/12와 같습니다 한번 봅시다 2 더하기 4는 7이 아니고 2 더하기 3도 7이 아니지만 4 더하기 3은 7입니다 따라서 이 두 각을 쓸 수 있습니다 4π/12 더하기 3π/12는 7π/12입니다 다시 써보겠습니다 좌변은 sin(3π/12+4π/12)와 같게 되며 물론 이 값은 sin(π/4) 다른 색을 쓰겠습니다 sin(π/4+π/3)이 됩니다 sin(π/4+π/3)이 됩니다 이제 sin의 합 공식을 사용해 이 값을 주어진 각들의 cos값과 sin값의 합의 곱으로 나타냅니다 해봅시다 즉 이 값과 같아지는 것은 즉 이 값과 같아지는 것은 sin(π/4)cos(π/3) 여기에 cos(π/4)sin(π/3)을 더한 것입니다 sin(π/3)입니다 이제 우리는 이 값들을 구해야 하며 이미 삼각형을 마련했습니다 sin(π/4)는 얼마일까요? sin(π/4) 생각해봅시다 이 각이 π/4입니다 사인은 높이/빗변입니다 즉 √2/2가 됩니다 이 값은 √2/2입니다 이 값은 √2/2입니다 cos(π/3)은 얼마일까요? 크기가 π/3인 각도입니다 코사인은 밑변/빗변입니다 밑변/빗변이므로 1/2이 됩니다 cos(π/4)는 얼마일까요? π/4로 돌아갑니다 밑변/빗변이므로 √2/2가 됩니다 이 값 역시 √2/2입니다 √2/2입니다 sin(π/3)은 얼마일까요? 사인은 높이/밑면이므로 √3/2를 1로 나눕니다 √3/2를 1로 나눴으므로 √3/2입니다 이를 간단히 합시다 좌변은 이 값들의 합 또는 곱으로 나타납니다 이 값은 √2/4이고 이들의 곱을 더합니다 √6/4로 쓸 수 있고 √6/4입니다 우변 전체를 다시 쓰면 약간의 연속적인 값을 얻습니다 커서를 오른쪽으로 옮기겠습니다 이 값은 √2+√6을 4로 나눈 값입니다 이 값이 sin(7π/12)입니다 cos(π/12)와도 같아집니다