포아송과정 2

이제 필요한 것은 다 배웠습니다 전 동영상을 기억해보면 1시간에 얼마나 많은 차들이 지나가는지를 확률분포를 통해서 알아보았습니다 교차로에서 관찰을 통해 확률변수의 꽤 좋은 기댓값을 찾았습니다 그리고 이 확률변수는 특정 시간 특정 거리에서 1시간 동안 지나간 차의 양으로 정의했습니다 오랫동안 그 양을 측정해 꽤 좋은 기댓값 λ를 얻었고 이 자료들을 이항분포로 나타내고자 했습니다 이항분포라면 λ는 시도한 횟수와 각 시도에서 성공할 확률의 곱입니다 λ는 시도한 횟수와 각 시도에서 성공할 확률의 곱입니다 만약 시도를 시간의 간격으로 본다면 이것은 1시간에 성공한 횟수입니다 이것은 1시간에 성공한 횟수입니다 그러면 이것은 작은 구간에서의 성공 횟수이고 이것은 작은 구간에서 성공할 확률이 됩니다 이것은 작은 구간에서 성공할 확률이 됩니다 전 동영상에서 해 보았더니 이 구간을 분 단위로 한다면 이것은 분당 성공의 확률이 되고 묘사하고 있는 것에 대해 적당한 값이 필요한데 묘사하고 있는 것에 대해 적당한 값이 필요한데 1분에는 한 대 이상의 차가 지나갈 수도 있습니다 1초로 바꾸면 이것은 1초에 성공할 확률이죠 하지만 여전히 문제는 존재합니다 차 하나는 1초 안에 쉽게 통과할 수 있습니다 그래서 이것이 무한대로 갈 때의 극한을 구하면 어떤 공식이 나올지 알아보아야 합니다 어떤 공식이 나올지 알아보아야 합니다 만약 이것을 무한대로 수렴하는 극한의 이항분포로 생각하면 만약 이것을 무한대로 수렴하는 극한의 이항분포로 생각하면 x가 어떤 수와 같을 확률 확률변수가 한 시간에 정확히 차 3대일 확률은 확률변수가 한 시간에 정확히 차 3대일 확률은 무한으로 갈 때의 극한이니까 무한으로 갈 때의 극한이니까 n이 무한대로 갈 때 nCk의 극한은 k개의 순간을 계산합니다 n이 무한대로 갈 때 이 구간은 아주아주 작아지기 때문에 따라서 이것은 시간의 순간들이 됩니다 무한 개의 순간을 다루게 됩니다 이 수는 자동차가 통과한 성공 횟수입니다 이 수는 자동차가 통과한 성공 횟수입니다 총 3대의 차가 통과했으니 성공한 횟수도 3번입니다 총 3대의 차가 통과했으니 성공한 횟수도 3번입니다 차가 7대라면 성공한 순간도 7번입니다 1시간에 7대가 지나간 마무리해봅시다 n개의 순간에서 k개의 성공을 고른 것에 성공할 확률을 곱해 줍니다 성공할 확률은 얼마일까요? 이것은 무엇과 같냐면 n은 n이고 p는 어떤 수와 동일할까요? p는 λ/n입니다 n×p는 λ이니까요 p는 λ/n입니다 p는 λ/n입니다 단지 재배열했을 뿐이죠 성공할 확률은 λ/n입니다 성공할 확률은 λ/n입니다 k번 성공할 확률을 찾고 있으니까 이렇게하고 k번 성공할 확률을 찾고 있으니까 이렇게하고 k번 성공할 확률을 찾고 있으니까 이렇게하고 그리고, 실패할 확률은 얼마가 될까요? 성공할 확률에서 1을 뺀 값이겠네요 얼마나 많은 실패를 하게 될까요? 얼마나 많은 순간에 차가 지나가지 않을까요? 순간이 총 n개 있었고 k번을 성공했으니 (n - k)번 실패하겠죠 이렇게도 쓸 수 있겠군요 다시 써보도록 하겠습니다 다시 써보도록 하겠습니다 n이 무한으로 갈 때 이 이항계수를 적어 봅시다 n!/ (n - k)! × k!입니다 보통 저는 반대로 쓰는데 결국 같은 식입니다 λ^ k를 n^k로 나눈 값으로 곱해 줍니다 이 식에서 지수를 빼 봅시다 이 식에서 지수를 빼 봅시다 이것은 (1 - λ/n)^n을 (1 - λ/n)^-k로 곱한 것과 같습니다 같은 밑을 가지고 있으면 지수는 이렇게 바뀌어질 수 있습니다 더 단순화 시켜봅시다 이 두수의 자리를 바꿔 봅시다 둘 다 분모에 있다고 볼 수 있으니까 나눗셈, 혹은 곱셈의 순서를 바꿀 수도 있습니다 나눗셈, 혹은 곱셈의 순서를 바꿀 수도 있습니다 그러면 이것은 n이 무한대로 갈 때 n이 무한대로 갈 때 n이 무한대로 갈 때 지난 동영상에서 나온 결과를 다시 써 봅시다 이건 무엇일까요? 지난 동영상의 끝에서 n!을 (n - k)!으로 나누는 법을 알아보았습니다 n에다가 (n - 1), (n - 2), (n - 3) ... 이런 식으로 (n - k + 1)까지 곱한 것이었죠 7! / (7-2)!였다면 7 곱하기 6입니다 6은 7 - 2보다 1 많습니다 지난 동영상에서 했던 내용입니다 지난 동영상에서 했던 내용입니다 그리고 항이 k개 존재한다고도 언급했습니다 그리고 항이 k개 존재한다고도 언급했습니다 이것도 세어보면 k개의 숫자가 있을 것입니다 이것을 다른 방식으로 써 보았고요 이것을 다른 방식으로 써 보았고요 이 둘의 순서를 바꾸고자 합니다 따라서 이 값은 n^k로 나눠지고 λ^k / k!을 곱합니다 λ^k / k!을 곱합니다 그리고 이것은 그대로 다시 써 줍니다 그리고 이것은 그대로 다시 써 줍니다 같은 줄이고요 (1 - λ/n)^n과 (1 - k/n)의^k로 곱한 값이죠 이제 극한을 취할 수 있습니다 극한을 취하면 어떻게 될까요? 극한에는 다음과 같은 성질이 있습니다 극한에는 다음과 같은 성질이 있습니다 만약 x가 어떤 값 a에 접근하는 극한을 취할 때 f(x)와 g(x)의 극한은 x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한과 x가 a에 접근할 때 g(x)의 극한의 곱과 같습니다 각각 극한을 구해 곱하면 전체의 극한을 구할 수 있습니다 시도해 봅시다 우선 이렇게 놓고요 이 극한은 얼마일까요? 한 번 써봅시다 노란색으로 적어 봅시다 그래서 n이 무한으로 가는 극한을 취할 때 n에 (n - 1), (n - 2), (n - 3) ... (n - k + 1)을 곱한 수는 (n - k + 1)을 곱한 수는 다항식이 될 것입니다 이 이항식 무리들을 k번이나 곱하는 것이죠 가장 큰 차수는 k가 되겠지요 n의 k제곱에다가 어떤 상수와 n의 (k - 1) 제곱이 더해집니다 매우 큰 k차 다항식이 될 것입니다 매우 큰 k차 다항식이 될 것입니다 극한을 취하기 위해서는 이 정도면 충분합니다 n의 k제곱에다가 무엇인가가 계속 다른 항들이 더해집니다 그리고 n^k로 나누어 줍니다 이것은 이 부분이고요 그리고 다른 극한은 상관이 없습니다 상수이니까요 앞으로 빼내어 보죠 극한을 붙일 필요도 없습니다 λ^ k를 k!으로 나눈 값을 곱해 줍니다 여기엔 n이 여기 없으니 n에 대해서는 상수입니다 (1 - λ/n)^n을 (1 - λ/n)^-k로 곱한 값을 곱합니다 (1 - λ/n)^-k로 곱한 값을 곱합니다 먼저 이 극한값은 얼마일까요? n이 무한대로 갈 때에 분자에는 n의 k제곱에다가 무언가가 더해진 형태입니다 다들 항은 차수가 k보다 낮습니다 이것이 가장 높은 차수입니다 이것이 가장 높은 차수입니다 따라서, 분자에는 n의 k제곱이 있고 분모에서도 n의 k제곱이 있네요 최고차항이 동일합니다 계수가 모두 1이므로 극한도 1입니다 또는 분모로 분자를 나누어 볼 수 있습니다 n의 k제곱으로 나누게 되면 1에다가 1/n 등이 더해진 형태가 되고 결국은 1이 됩니다 만약 무한으로 극한을 취하면 나머지 항들은 결국 0이 될 테니 1/1 만이 남습니다 어쨌든, 분자와 분모가 동차식이므로 그리고 계수가 같으므로 n이 무한으로 갈때의 극한은 1입니다 간단해졌네요 정리하면 1 × (λ^k / k!) 가 되고 오른쪽의 항에 n을 무한으로 갈 때의 극한을 취하면 오른쪽의 항에 n을 무한으로 갈 때의 극한을 취하면 (1 - λ/n)^n은 지난 동영상에서는 다음과 같았습니다 써볼게요 n이 무한대로 갈 때 (1 + a/n)^n의 극한은 e^a와 동일하다고 배웠습니다 이 식에 a의 값에다 -λ를 대입하면 되죠 -λ를 대입하면 되죠 따라서 이 값은 e^-λ가 됩니다 a 대신에 -λ를 넣었습니다 마지막으로 이 극한은 얼마일까요 더욱 깔끔히 써보도록 하겠습니다 이 항을 다시 써봅시다 (1 - λ/n)^-k n이 무한대로 가면 어떤 일이 일어나나요? λ는 상수입니다 n이 무한대로 가면, 이 항은 0에 수렴합니다 따라서 1의 -k제곱을 얻습니다 몇 제곱을 하던지 1이므로, 이 항은 1입니다 여기에 또 다른 1이 있군요 이제 극한을 모두 구했습니다 확률변수 1시간에 지나가는 차의 수가 확률변수 1시간에 지나가는 차의 수가 특정 수와 같을 확률은 한 시간에 7개의 차가 지나가는 것 같은 경우이죠 n이 무한대로 갈 때에 nCk에 성공할 확률 (λ/n)^k와 실패할 확률 (1 - λ/n)^(n - k)을 곱한 것의 극한은 실패할 확률 (1 - λ/n)^(n - k)을 곱한 것의 극한은 방금 (λ^k/k!) × e^-λ와 같다고 구했습니다 방금 (λ^k/k!) × e^-λ와 같다고 구했습니다 재미있네요 과정 없이 마지막 식만 보면 이것이 이항정리와 연관되어 있다는 생각은 하지 못할 것입니다 이것이 이항정리와 연관되어 있다는 생각은 하지 못할 것입니다 e도 있고 !이 있긴 해도 !은 다른 곳에도 많이 쓰이니까 이항정리와 연결하기 어렵죠 이항정리와 연결하기 어렵죠 이것은 점점 작은 구간을 취했고 이것은 점점 작은 구간을 취했고 그만큼 각 구간의 성공확률도 작아지는데 극한을 구해보니 e가 있었습니다 말이 되는 이야기입니다 복리를 계산할 때 지수 함수를 보았는데 비슷합니다 점점 복리 구간을 작게 만들고 구간의 값도 작게 해서 구간의 값도 작게 해서 극한을 취하면 e를 다시 얻을 수 있습니다 여기 이 식은 그렇게 구한 것입니다 여기 이 식은 그렇게 구한 것입니다 어쨌든 이것을 어떻게 사용하는지 알아야합니다 만약 교통 엔지니어라고 가정하고 평균적으로 1시간에 9대의 차가 통과하는데 평균적으로 1시간에 9대의 차가 통과하는데 평균적으로 1시간에 9대의 차가 통과하는데 확률을 구하고 싶다면 이것은 주어진 시간에 9대의 차가 통과한다는 기댓값이고요 이것은 주어진 시간에 9대의 차가 통과한다는 기댓값이고요 주어진 시간에 정확히 두 대가 지나갈 확률은 주어진 시간에 정확히 두 대가 지나갈 확률은 9^2에 9^2에 2!로 나누고 e^-9를 곱한 값입니다 (81/2)(e^-9)이죠 계산기를 써야 하겠네요 계산기를 써야 하겠네요 직접 계산해 보세요 그러면 다음 동영상에서 보겠습니다