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여러분이 교통 공학 전문가라고 합시다 도로의 특정 지점, 시간에 얼마나 많은 차가 지나가는지 구하려고 합니다 특정 시간에 100대, 5대의 차가 지나갈 확률을 구하려고 합니다 특정 시간에 100대, 5대의 차가 지나갈 확률을 구하려고 합니다 우선 구하고자 하는 것을 나타내는 확률변수를 정의합니다 우선 구하고자 하는 것을 나타내는 확률변수를 정의합니다 X를 특정 시간 내에 지나가는 차의 수라고 합시다 한시간이라고 하죠 한시간이라고 하죠 목표는 이 확률변수의 확률분포를 찾고 확률분포를 찾고 나면 한 시간에 100대가 지나갈 확률 0대가 지나갈 확률 등을 구할 수 있습니다 0대가 지나갈 확률 등을 구할 수 있습니다 뭐든 구할 수 있죠 이 동영상에서는 두 가지 가정을 할 것입니다 포아송 분포에 대해 공부할 것이기 때문입니다 이를 위해 두 가지 가정을 해야 합니다 이를 위해 두 가지 가정을 해야 합니다 도로 위 지점의 어떤 시간도 다른 시간과 다르지 않습니다 도로 위 지점의 어떤 시간도 다른 시간과 다르지 않습니다 실제로 그렇진 않을 것입니다 실제로는 혼잡 시간대에 다른 시간보다 더 많은 차들이 있겠죠 만약 좀 더 현실적으로 하고 싶다면 1일로 해볼 수 있을 것입니다 하지만 1일로 하진 않겠습니다 모든 시간이 동일하다고 가정하고 그 한 시간 안에 각 초마다도 차가 지나가는 확률에 차이가 없다고 가정합니다 차가 지나가는 확률에 차이가 없다고 가정합니다 이 가정은 단순화된 가정으로 실제 교통에 적용될 수는 없지만 여기서는 가정해 보겠습니다 또 다른 가정은 한 시간 내에 차가 많이 지나간다고 그 다음에 차가 조금 지나간다는 것은 아닙니다 한 기간 내에 지나간 차의 수는 다음 지나갈 차에 영향을 주지 않습니다 다음 지나갈 차에 영향을 주지 않습니다 이들은 독립적입니다 이를 가정하면 배운 것을 바탕으로 분포를 만들어낼 수 있습니다 어떤 분포든 처음으로 해봐야 할 것은 평균을 추정하는 것입니다 길가에 앉아 이 변수가 무슨 값을 가지는지 오래 지켜보고 평균을 구해 보면 이는 실제 모평균에 가까운 좋은 추정치가 될 것입니다 이는 실제 모평균에 가까운 좋은 추정치가 될 것입니다 이것은 변수이기 때문에 변수의 기댓값이라고 할 수 있습니다 이것은 변수이기 때문에 변수의 기댓값이라고 할 수 있습니다 그렇게 해서 얻은 확률변수의 기댓값을 λ라고 하겠습니다 λ라고 하겠습니다 이건 시간당 9대일수도 9.3대 일수도 있습니다 이건 시간당 9대일 수도 9.3대일 수도 있습니다 수백 시간 동안 한 곳에서 시간당 차의 수를 세어 평균을 내보니 시간 당 9.3대였고 나쁘지 않은 추정치라 생각했다고 합시다 이 값은 이렇고 무엇을 할 수 있는지 봅시다 이항분포가 무엇인지는 알고 있습니다 이항분포에서 확률변수의 기댓값은 변수가 가지고 있는 시행 횟수에 변수가 가지고 있는 시행 횟수에 전 동영상에서는 동전 던지기에서 나오는 앞면의 횟수를 세었습니다 전 동영상에서는 동전 던지기에서 나오는 앞면의 횟수를 세었습니다 그 경우에 n은 동전을 던진 횟수이죠 거기에 각 던지기가 성공할 확률을 곱해 주었습니다 이것이 이항분포입니다 교통 상황도 비슷하게 모델링 해볼 수 있을지 모릅니다 교통 상황도 비슷하게 모델링 해볼 수 있을지 모릅니다 이것은 한 시간내에 지나간 차의 수입니다 시간당 λ대를 시간당 λ대를 시간당 λ대를 각 시행, 각 동전 던지기는 1분 안에 차가 지나가는지 여부와 같다 합시다 한시간에는 60분이 있으니까 60번의 시행이 있습니다 그리고 각 시행에서의 성공 확률은 이항분포로 생각한다면 분당 λ/60대가 됩니다 이것은 확률입니다 이것은 n이고, 이는 확률입니다 이게 이항분포라고 한다면 이건 나쁘지 않은 추정치일 것입니다 이항분포라 한다면 확률변수가 어떤 주어진 값 K와 같을 확률은 확률변수가 어떤 주어진 값 K와 같을 확률은 확률변수가 어떤 주어진 값 K와 같을 확률은 예를 들어 주어진 한 시간 내에 3대의 차가 지나갈 확률은 n은 60이고 n에서 k개를 고르고, 3대이죠 거기에 성공 확률을 곱해줍니다 1분에 차가 통과할 확률은 λ/60의 필요한 성공 횟수의 제곱인 K제곱이고 λ/60의 필요한 성공 횟수의 제곱인 K제곱이고 성공하지 않는 확률 차가 지나가지 않을 확률의 n - k제곱입니다 만약 k번 성공했다면 60-k번 실패했겠죠 60-k분 동안 차가 지나가지 않은 것입니다 나쁘지 않은 추정입니다 이항분포라 가정하고 60개의 구간이 있습니다 이항분포라 가정하고 60개의 구간이 있습니다 아마 타당한 결과를 얻을 것입니다 그러나 여기에는 중요한 문제가 있습니다 이항분포라고 가정한 이 모델에서 1시간이나 1분에 한 대 이상의 차가 지나가면 어떻게 될까요? 1시간이나 1분에 한 대 이상의 차가 지나가면 어떻게 될까요? 여기서는 1분 내에 한 대가 지나가는 것을 성공이라 했습니다 만약 이 기간에 5대의 차가 지나가도 하나의 성공으로 세어집니다 해결법이 보이나요? 더 상세한 기준을 만들면 됩니다 분 단위로 나누지 말고 초 단위로 나누면 되지 않을까요? k 횟수만큼 성공할 확률을 60개의 구간에서 3600개의 구간으로 바꿉니다 각 초마다 K번 성공할 확률 그러니까 3600초 중 차가 지나간 초는 3600 중에 k만큼 고르는 것이고 주어진 초 내에 차가 지나갈 확률을 곱합니다 한 시간에 지나갈 차의 기댓값을 한 시간에 있는 초의 개수로 나눈 것고요 k번 성공합니다 k번 성공합니다 이건 실패할 확률이고 3600-k번 실패합니다 좀 더 나은 어림값이네요 나쁜 어림값은 아니지만 0.5초에 2대의 차가 오는 상황도 있을 수 있습니다 0.5초에 2대의 차가 오는 상황도 있을 수 있습니다 패턴이 보이나요? 더 세분화해야 합니다 이 숫자를 더욱 더 크게 만들어야 합니다 이 숫자를 더욱 더 크게 만들어야 합니다 그렇게 하면 됩니다 이렇게 하면 푸아송 분포를 얻게 됩니다 이렇게 하면 푸아송 분포를 얻게 됩니다 이는 굉장히 흥미롭습니다 왜냐하면 많은 경우 포아송 분포의 공식을 주고 숫자를 대입하여 사용하기만 합니다 그러나 이는 그저 이항분포일 뿐이고 이항분포는 동전 던지기라는 기본 상식으로부터 만들어졌습니다 이항분포는 동전 던지기라는 기본 상식으로부터 만들어졌습니다 모든 게 거기서 나온 것입니다 극한을 취해 증명하기 전에 색깔을 바꿉시다 이 숫자에 극한을 취하면 그러니까 구간의 숫자를 무한에 가깝게 하면 포아송 분포가 됩니다 그 전에 수학 공식을 몇 개 알아야 합니다 그 전에 수학 공식을 몇 개 알아야 합니다 물론 처음 것은 여러분에게 익숙하겠지만, 확실하게 해봅시다 x가 무한에 다가갈때 (1 + a/x)^x은 e^a와 같습니다 x가 무한에 다가갈때 (1 + a/x)^x은 e^a와 같습니다 증명해 봅시다 치환을 해보죠 1/n = a/x라고 해 봅시다 1/n = a/x라고 해 봅시다 그러면 x = na가 됩니다 x × 1은 n × a이니까요 x가 무한에 다가갈 때 a는 어디로 다가갈까요? 죄송합니다 x가 무한에 다가간다면 n은 어디로 다가갈까요? n은 x/a입니다 그래서 n 또한 무한에 다가갑니다 치환해 본 것에 따르면 n이 무한에 다가갈 때 치환해서 (1 + 1/n)^na은 치환해서 (1 + 1/n)^na은 n이 무한에 다가갈 때 ((1+1/n)^n)^a과 같고 ((1+1/n)^n)^a과 같고 밖에 n이 없기 때문에 여기에만 극한을 취하고 그걸 a제곱 하면 됩니다 이는 n이 무한에 다가갈 때 (1 + 1/n)^n제곱을 a제곱 한 것과 같습니다 (1 + 1/n)^n제곱을 a제곱 한 것과 같습니다 이는 e의 정의이자 e를 구하는 방법 중 하나입니다 복리에 관련된 동영상을 보면 알 수 있어요 e를 얻는 방법은 이렇습니다 계산기로 더 큰 n을 넣다보면 e를 얻을 수 있습니다 계산기로 더 큰 n을 넣다보면 e를 얻을 수 있습니다 안쪽 부분은 e와 같고, 여기에 a제곱하면 e^a이 됩니다 이 극한이 e^a라는 것이 만족스러웠으면 합니다 이 극한이 e^a라는 것이 만족스러웠으면 합니다 또 다른 알아야 할 공식은 증명은 아마 다음 동영상에서 할 것 같은데 다른 공식은 x!/(x - k)!가 (x)(x - 1)(x - 2) ··· (x - k + 1)과 같다는 것입니다 (x)(x - 1)(x - 2) ··· (x - k + 1)과 같다는 것입니다 이를 여러번 했지만 이것은 썼던 공식 중 가장 추상적입니다 그리고 여기에는 정확히 k개의 항이 있다는 것을 알아두세요 그리고 여기에는 정확히 k개의 항이 있다는 것을 알아두세요 첫번째 항, 두번째 항, 세번째 항 그리고 마지막은 k번째 항입니다 이것은 포아송 분포의 유도에 굉장히 중요합니다 실제로 만약 7!/(7 - 2)!이라면 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1을 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1을 2 x 1로 아니죠 7 - 2 = 5이기 때문에 5 x 4 x 3 x 2 x 1입니다 이들은 지워지고 7 x 6만 남습니다 시작은 7이고 마지막 항은 7 - 2 + 1인 6입니다 시작은 7이고 마지막 항은 7 - 2 + 1인 6입니다 시작은 7이고 마지막 항은 7 - 2 + 1인 6입니다 이 예시에서 k는 2였고 정확히 2개의 항이 나왔습니다 이 두 가지를 안다면 포아송 분포를 유도할 준비가 되었습니다 다음 동영상에서 해보겠습니다 곧 봅시다