벡터의 덧셈과 크기

a,b,c 세개 벡터가 있다고 합시다. 우리는 벡터 a와 벡터 b의 합이 벡터 c라는 걸 알죠. 이 점을 안다는 전제 하에서 질문을 몇개 해볼게요. 벡터 c의 크기가 벡터 a와 벡터 b의 크기의 합일 수 있을까요? 그리고 서로 다른 벡터 a,b,c를 이용해서 벡터 c의 크기가 벡터 a와 b의 크기의 합보다 크게 할 수 있을까요? 한번 해보세요 벡터 a와 b의 합의 크기가 두 벡터의 크기의 합과 같도록 하는 벡터 a와 b를 구해보세요. 또 벡터 a와 b의 합의 크기가 두 벡터의 크기의 합보다 크도록 벡터 a와 b를 구해보세요. 한번 해보세요. 음, 아마 시도를 해봐도 잘 안 될거에요. 특히 두번째 과제가 어려울 겁니다. 자, 이제 한번 해보죠. 우선 벡터 몇개를 그려볼게요. 자, 벡터 a와 벡터 b가 이런 모양이면 음, a 더하기 b 이건 복사 붙여넣기해서 표현할 수 있겠네요. a 더하기 b는 아마 이런 모양일 거에요. a 더하기 b, 이걸 벡터 c로 놓죠. 벡터 c는 저런 모양이 됩니다. 여기서 세개의 벡터는 언제나 삼각형을 이뤄요. 그리고 삼각형의 성질에 따라 한 변이 다른 두 변의 합보다 짧습니다. 생각해보세요: 만약에 이게 조금 더 길었으면 한다면 아마 벡터 b가 더 멀리 나아가도록 하면 되요. 그래서 벡터 b를 조금 바꾸면, 벡터 c가 길어질 수 있습니다. 벡터 b는 이런 모양이 되겠죠. 자, 벡터 c는 꽤 길어지고 있지만, 그래도 나머지 벡터의 합보다는 짧네요. 만약 두 값이 같도록 하고 싶어한다면, 두 벡터가 서로 같은 방향을 향하도록 설정하면 되요. 이런 식으로요. 결국 벡터의 합의 크기의 최댓값은 바로 벡터의 크기의 합인거죠. 그리고 이런 경우는 오직 두 벡터가 똑같은 방향을 향할때만 나타납니다. 여기 있는 이거는 불가능해요. 절대로 삼각형의 한변이 다른 두 변의 합보다 크게 만들 수 없죠. 우리가 아까 봤듯이 말이에요. 그러면 두 벡터의 합의 크기가 두 벡터의 크기의 합보다 두작은 경우에 대해 궁금할거에요. 이 경우는 두 벡터가 같은 방향을 향하지 않는 한 모든 경우에서 나타나는 상황이에요. 그러니까 누가 벡터를 이런 식으로 그리면 이 두 벡터는 보시다시피 같은 방향이 아니잖아요? 그럼 이 두 벡터의 합의 크기는 두 벡터의 크기의 합보다 작은 거에요. 자, 예를 들어서, 이 벡터의 크기가 5, 이 벡터의 크기가 3이면 우리는 이 둘을 더했을 때, 잘 보세요. 이렇게 복사 붙여넣기를 하고, 좀 깔끔하게 해볼게요. 또 자르고 붙여넣고. 이 두 벡터를 더해봐요. 자, 두 벡터의 합인 이 벡터가 5 더하기 3, 즉 8보다 작은 크기를 가지게 될 거에요. 이 합의 크기가 8이 되도록 하는 유일한 방법은 두 벡터가 정확히 똑같은 방향이 되도록 정렬하는 거에요.