벡터의 덧셈과 뺄셈

이번 영상에서는 이차원 벡터에서의 덧셈과 뺄셈에 대한 직관력을 더 길러보도록 하겠습니다 예를 들어, 벡터 A에 대하여 x성분이 3이고 y성분은 -1이라고 합시다 그리고 벡터 B에 대해서는 x성분이 2이고 y성분이 3입니다 먼저, A와 B가 동일한 벡터인지 구별해봅시다 A+B의 값은 어떤 결과가 나옵니까? A+B의 값은 어떤 결과가 나옵니까? 저는 여러분에게 먼저 영상을 멈추시고 어떤 값이 나올지 생각해 보시기 바랍니다 사실, 관례적으로 벡터의 덧셈을 하고 싶으면 각 벡터의 x성분을 더하고 y성분도 더해서 결과를 구할 수 있습니다 y성분도 더해서 결과를 구할 수 있습니다 그래서 벡터 A+B의 x성분은 3+2일 것입니다 이 값, 즉 5가 x성분이 됩니다 y성분은 -1+3일 것입니다 y성분은 -1+3일 것입니다 -1+3은 2입니다 그래서 이 벡터는 x성분이 5이고 y성분이 2인 벡터일 것입니다 x성분이 5이고 y성분이 2인 벡터일 것입니다 좋습니다, 매우 간단한 문제였습니다 이제, 각 성분을 더하는 방법 대신 빼는 것을 생각해 보겠습니다 벡터 A에 벡터 B를 뺀 결과를 구해봅시다 저는 여러분이 벡터 B를 더하는 대신 뺐을 때 어떤 일이 일어날지 충분히 예상할 수 있다고 믿습니다 충분히 예상할 수 있다고 믿습니다 여러분이 생각했듯이, 각 성분을 더하는 대신 빼주게 됩니다 벡터 A의 x성분과 벡터 B의 x성분을 빼게 됩니다 벡터 A의 x성분과 벡터 B의 x성분을 빼게 됩니다 왜냐하면 이건 벡터의 뻴셈이기 때문입니다 결과값의 x성분은 3-2일 것입니다 3-2일 것입니다 그리고 y성분은 벡터 A의 y성분과 벡터 B의 y성분을 뺀 값입니다 벡터 A의 y성분과 벡터 B의 y성분을 뺀 값입니다 그래서 -1-3일 것입니다 그래서 -1-3일 것입니다 결과값의 벡터의 x성분을 1일 것이고 결과값의 벡터의 x성분을 1일 것이고 y성분은 -4일 것입니다 y성분은 -4일 것입니다 제가 보여준 것이 벡터를 더하거나 뺄 때 관습적으로 사용하는 방법입니다 관습적으로 사용하는 방법입니다 이제 이걸 시각화 할 수 있는지 생각해 봅시다 먼저 벡터 A와 벡터 B를 그려봅시다 양 축을 먼저 그리겠습니다 이 선이 y축이고 이 선이 y축이고 벡터 중에서 가장 높은 y성분은 3이고 벡터 중에서 가장 높은 y성분은 3이고 가장 낮은 값은 -4입니다 이제 x축을 그리겠습니다 (제가 실수로 화면을 확대했습니다) (제가 실수로 화면을 확대했습니다) 봅시다 x축은 여기 있을 것이고 x축은 여기 있을 것이고 가장 높은 x성분은 5입니다 가장 낮은 값은 3입니다 사실, x가 양수인 부분에만 집중해도 좋을 것 같습니다 집중해도 좋을 것 같습니다 다시 그리겠습니다 x축을 이렇게 그려도 될 것 같습니다 x축을 이렇게 그려도 될 것 같습니다 이제 그려봅시다 벡터 A는 (3, -1)입니다 여기 있는 지점이 되겠습니다 만약 표준형으로 시각화하고 싶다면 벡터의 시작점을 원점으로 놓고 벡터의 끝점을 (-3, 1)로 놓을 수 있습니다 이렇게 그릴 수 있습니다 또한 길이와 방향에 영향이 없다면 벡터를 이렇게 움직일 수도 있습니다 벡터를 이렇게 움직일 수도 있습니다 그래서 이게 벡터 A입니다 벡터 B 역시 시작점이 원점이고 이렇게 그릴 수 있습니다 x성분은 2이고 y성분은 0, 1, 2, 3입니다 끝점은 여기 있을 것 같습니다 벡터 B는 이렇게 그릴 수 있습니다 만약 우리가 벡터 B를 벡터 A에 더한다면 만약 우리가 벡터 B를 벡터 A에 더한다면 벡터 B를 여기 옮겨야 합니다 끝점이 A의 시작점에 놓고, 시작점은 벡터 A의 끝점에 있어야 합니다 해보겠습니다 여기서 시작한다면 x방향으로 2칸 가야 합니다 x방향으로 2칸 가야 합니다 y방향으로는 3칸 가야 합니다 1, 2, 3칸 이동합니다 이렇게 그려질 것입니다 여기에 벡터 B를 그리면 됩니다 저는 그저 이동했을 뿐입니다 같은 방향과 길이를 가졌기 때문에 문제가 될 건 없습니다 문제가 될 건 없습니다 이렇게 이동했을 뿐입니다 이제 벡터 A에 벡터 B를 더하면 됩니다 이제 벡터 A에 벡터 B를 더하면 됩니다 벡터 B의 시작점을 벡터 A의 끝점에 연결했습니다 이렇게 옮겨서 말입니다 이제 벡터 A와 벡터 B의 합을 구할 수 있습니다 이들의 합은 벡터 A의 시작점에서 시작하여서 이들의 합은 벡터 A의 시작점에서 시작하여서 벡터 B의 끝점에서 멈출 것입니다 여기서 시작한 다음, 여기로 가게 되는 겁니다 이 벡터의 x성분을 5이고 y성분은 2입니다 이 벡터가 바로 (5, 2)입니다 이게 벡터 A와 벡터 B의 합입니다 하지만 우리는 벡터 A와 벡터 B의 차도 생각해야 합니다 벡터 A는 그대로 놓으면 되고 벡터 B의 시작점을 벡터 A의 끝점에 놓는 대신 벡터 B의 시작점을 벡터 A의 끝점에 놓는 대신 벡터 -B를 놓을 것입니다 벡터 -B는 벡터 B의 같은 길이를 가지고 있지만 다른 방향을 가지고 있습니다 오른쪽으로 2칸, 위로 3칸 가는 대신 왼쪽으로 2칸, 아래쪽으로 3칸 가게 됩니다 그래서 이렇게 가게 되면 이 지점에서 끝나게 됩니다 만약 벡터 A에 벡터 B를 뺀다면 벡터 A에 벡터 -B를 더하는 것과 같습니다 그리고 벡터 -B는 다음과 같이 생겼을 것입니다 완전히 반대의 방향을 보고 있습니다 이렇게 생겼고, 두 벡터의 차는 벡터 A의 시작점에서 시작하여 벡터 B의 끝점에서 끝나게 됩니다 손으로 그렸기 때문에 정확하지는 않지만 이 지점은 (1, -4)입니다 이 지점은 (1, -4)입니다 그래서 여기 있는 벡터는 (다른 색으로 칠하겠습니다) (다른 색으로 칠하겠습니다) 여기 있는 갈색 벡터는 벡터 A와 벡터 -B의 합입니다, 그리고 이 하얀 벡터는 다른 색으로 칠하겠습니다 이 자주색 벡터는 벡터 A와 벡터 B의 합입니다 이제 말이 되는 것 같습니다 만약 여러분이 다른 주어진 벡터를 더한다면, 각 성분들을 더하면 됩니다 만약 뺀다면 벡터 B를 벡터 A에 뺀다면 B의 성분들을 A의 성분에 빼면 됩니다 B의 성분들을 A의 성분에 빼면 됩니다